Đề kiểm tra cuối học kì 2 Toán Lớp 9 - Năm học 2021-2022 - Phòng GD&ĐT Long Biên (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề kiểm tra cuối học kì 2 Toán Lớp 9 - Năm học 2021-2022 - Phòng GD&ĐT Long Biên (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ II LỚP 9 QUẬN LONG BIÊN NĂM HỌC 2021-2022 Môn: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 20/4/2022 Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề ) Câu 1: (2 điểm). x − 24 xx− 2 Cho biểu thức A =− và B = với xx 0; 4 . xx2 − 2 1 1) Tính giá trị của biểu thức B khi x = . 4 x + 4 2) Chứng minh rằng AB. = . 2 3) Tìm các giá trị của x để B = 1 . Câu 2: (1,5 điểm). Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc lập hệ phương trình: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết rằng: Tổng hai chữ số của số đó bằng 9, nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì ta được một số mới (có hai chữ số) bé hơn số ban đầu 27 đơn vị. Câu 3: (2,5 điểm). 1) Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a) 274xx2 +=. 24xy−= b) . xy+=39 2 2) Cho phương trình bậc hai x− 2 x+−2 m 3= 0 ( x là ẩn). Xác định các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt xx12; thỏa mãn 111 0 điều kiện +=. 22 xx129 Câu 4: (3,5 điểm). Cho tam giác ABC có ba góc nhọn( A BA C ) nội tiếp đường tròn (O; R). Vẽ các đường cao AI, BK của tam giác ABC (I ∈ BC, K ∈ AC). Gọi H là giao điểm của AI và BK và M là trung điểm của BC, kẻ HE vuông góc với AM tại E. 1) Chứng minh rằng bốn điểm A, H, E, K cùng thuộc một đường tròn . 2) Chứng minh: IBICIHIA = . 3) Chứng minh: AEKACM= và MEMAR. 2 . Câu 5:(0,5 điểm). 1 Giải phương trình: 4141xx2 +−=− . 2 x Hết Họ tên Thí sinh: SBD
2. PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM QUẬN LONG BIÊN Năm học 2021-2022 Môn thi : Toán Câu ý Nội dung trình bày Điểm 1 1 x − 24 xx− 2 0,5 đ Cho biểu thức A =− và B = với xx 0; 4 . xx2 − 2 1 1) Tính giá trị của biểu thức B khi x = . 4 11 0,25đ Thay ( TMĐK) vào biểu thức B ta được: B =−2:2 44 113 − 0,25đ B =−= 2 .:2 428 x + 4 2 Chứng minh rằng AB. = . 0,75đ 2 xxxxxx−−−−242242 AB =−=+ xxxx 22−−22 2 x − 2 ( ) 42xxx − AB =+ 0,25đ xxxx −−222 ( ) ( ) xxx−+444 xx( − 2 ) AB =+ xxxx( −−22) ( ) 2 0,25đ x + 4 xx( − 2 ) AB = xx( − 2 ) 2 x + 4 AB = (Điều phải chứng minh) 0,25đ 2 3 Tìm các giá trị của x để B = 1 với 0,75đ xx− 2 Để Bxx=1122 = 0 −− = 2 Đặt xt= 0 ta có PT: t 2 −−=220t có ='3. 0,25đ Phương trình có hai nghiệm t1 =− 130 ( loại), t 2 =+13( thỏa mãn) 2 Suy ra : xx=1 + 3 =( 1 + 3) = 4 + 2 3 ( thỏa mãn ĐKXĐ) 0,25đ Vậy x =+4 2 3 là giá trị cần tìm. 0,25đ
3. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết rằng: Tổng hai chữ số của số đó bằng 9, nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì ta được một số mới (có hai chữ số) nhỏ 2 hơn số ban đầu 27 đơn vị. 1,5đ Gọi số tự nhiên cần tìm là a baNbNab( ,,9,9 ) 0,25đ Vì tổng các chữ số là 9 nên ta có phương trình ab+=91( ) 0,25đ Đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì ta được số mới là ba Vì số mới bé hơn số cũ 27 đơn vị nên ta có phương trình a b−= b a 2 7( 2 ) 0,25đ ab+=9 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình abba−=27 a = 6 Giải hệ phương trình, tìm được b = 3 0,5đ Đối chiếu ĐK và kết luận: Số cần tìm là 63. 0,25đ 3 1 Giải các phương trình và hệ phương trình sau: 1,5đ 2 24xy−= a) 2 7xx 4 +=. b) . xy+=39 1a Giải phương trình: . 0,75đ 2 Ta có: +−=2740xx 0,25đ Tính được = =8109 0,25đ 1 0,25đ Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 =−4 ; x 2 = . 2 24xy−= Giải hệ phương trình . 1b xy+=39 0,75đ 0,25đ Giải hệ phương trình ĐKXĐ: y 0 . 2x− y = 4 6 x − 3 y = 1 2 x = 3 x = 3 0,25đ Ta có: y = 2 y = 4 x+3 y = 9 x + 3 y = 9 x = 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm 0.25đ y = 4 2 2 Cho phương trình bậc hai xxm− 2 +−230 = (với x là ẩn ). Xác định các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt xx; thỏa mãn 12 1,0đ 1 1 1 0 += 22 . xx129 Xét phương trình bậc hai: (I)
4. Ta có: = − 16 8 m Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thì − 016802 mm (*) xx12+=2 (1) Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: xxm=− 23 (2 ) 12 0,25đ 1 1 1 0 3 += x . x − 0230 mm. 0,25đ Xét: 22 ĐKXĐ: 12 ( ) xx129 2 Theo đề bài, ta có: 2 22 111 01 01 0 xx+ ( xxx1212+− x ) 2 += = = 12 (3) xxxxxx222222 9.9.9 121212 Thay (1), (2) vào (3) ta được: 2 2−− 2( 2m 3 ) 10 m = 0 = 1 0m2 − 2 1 m = 0 m 1 0 m − 2 1 = 0 2 ( ) 0,25đ ( 23m − ) 9 m = 2,1 Đối chiếu với ĐK (*) và ( ) suy ra m = 0 thỏa mãn. xx; Vậy thì pt có hai nghiệm phân biệt 12 thỏa mãn . 0,25đ 4 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn( A B A C ) nội tiếp đường tròn (O; R). Vẽ 3,5đ các đường cao AI, BK của tam giác ABC (I ∈ BC, K ∈ AC). Gọi H là giao điểm của AI và BK và M là trung điểm của BC, kẻ HE vuông góc với AM tại E. 1 Chứng minh rằng bốn điểm A, H, E, K cùng thuộc một đường tròn . 1,25đ 0,25đ Ta có: AKH = 900 ( Do BK vuông góc với AC) 0,25đ AEH = 900 ( Do HE vuông góc với AM) 0,25đ 0 0,25đ AKHAEH = = 90 suy ra tứ giác AKEH nội tiếp đường tròn đường kính AH hay bốn điểm A, H, E, K cùng thuộc một đường tròn 0,25đ
5. 2 Chứng minh: IBICIHIA = . 0,75đ Xét BIH vuông tại I và A IC vuông tại I có: IB H IA= C ( Cùng phụ với A C B ) 0,25đ B IH đồng dạng với AIC (g.g) 0,25đ B I IH = =B IICA IIH (đpcm) 0,25đ A I IC 3 Chứng minh: AEKACM= và MEMAR. 2 . 1,5đ Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHEK có : AEKAHK= (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AK) 0,25đ AHKACM= ( cùng phụ với H A K ) 0,25đ Suy ra . 0,25đ + Xét tứ giác MEKC có : ( chứng minh trên) => tứ giác MEKC nội tiếp( Dấu hiệu nhận biết) =MKCMEC ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung MC) (1) + Xét tam giác BKC vuông tại K có: M là trung điểm của cạnh huyền BC(gt) BC => MKMC==( định lí) 2 M K C cân tại M =MKCMCK (2) Từ (1), (2) =MECMCK hay MECMCA= 0,25đ + Xét MEC và MCA có: ( chứng minh trên) A M C chung MEC đồng dạng với (g.g) MEMC = MEMAMC. = 2 (3) MCMA 0,25đ Xét tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) suy ra dây BC MC < R (4) Từ (3), (4) MEMAR. 2 ( đpcm 0,25đ 1 5 Giải phương trình: 4141xx2 +−=− 0,5đ 2 x 1 ĐKXĐ: x 4 Ta có: 2 2 111 2 44xxxxx+ 1 1 −− = 2 − 14 +− 1( 122 −) +( += ) 222xx 0,25đ 2 ( 2x − 1) 0 1 2 Mà ( 4x − 1 − 1) 0 2 1 22x + 2 x
6. Chứng tỏ VT 2 210x −= 1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 4110x −−= =x ( thỏa mãn) 2 1 0,25đ 2 x = 2 x 1 Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là: S =  2 Tổ giám khảo thống nhất để chia nhỏ điểm thành phần nhưng không được thay đổi tổng điểm . Học sinh làm cách khác mà vẫn đúng thì vẫn cho điểm tối đa