Tuyển tập đề thi học kì 2 Toán Lớp 9 (Có hướng dẫn chấm và thang điểm)

Nội dung text: Tuyển tập đề thi học kì 2 Toán Lớp 9 (Có hướng dẫn chấm và thang điểm)

1. 1 ĐỀ SỐ 1 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: ( 1,5 điểm) Cho hai hàm số y = x2 (1) và y = x + 2 (2) a/ Vẽ đồ thị hai hàm số (1) và (2) trên cùng một mặt phẳng tọa độ b/ Xác định tọa độ giao điểm của hai hàm số trên. xy−=3 Câu 2: (1,5 điểm) Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế :  231xy+= Câu 3: (1,5 điểm) Cho phương trình ( ẩn x ) x22−2( m −+= 1) xm 0 a/ Tính ∆ ' b/ Với giá trị nào của m thì phương trình trên có nghiệm ? Câu 4: (2,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một mảnh đất hình chữ nhật có nhiều dài lớn hơn nhiều rộng 5m và diện tích bằng 150m2 . Tính chiều dài và chiều rộng của mạnh đất. Câu 5: (2,0 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Kẻ EF vuông góc với AD. Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng: a/ Tia CA là tia phân giác của góc BCF; b/ Tứ giác BCMF nội tiếp được. Câu 6: (1,5 điểm) Cho một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và chiều cao h = 10cm a/ Tính diện tích xung quanh của hình trụ ; b/ Tính thể tích của hình trụ ? HƯỚNG DẪN VÀ THANG ĐIỂM CHẤM Câu Đáp án Biểu y = x2 điểm y = x+2 1 a/ Cho chính xác các điểm đặc biệt, vẽ chính xác đồ thị 4 1,0 b/ Lập phương trình hoành độ giao điểm 2 của y = x2 (1) và y = x + 2 (2) là: B x2 = x + 2 ⇔ x2 - x – 2 = 0 (*) 1 Giải phương trình (*), ta được x = -1 và x = 2 -2 -1 O 1 2 3
2. 2 + Với x = -1 suy ra y = 1; 0,25 + Với x = 2 suy ra y = 4 Vậy, hai hàm số y = x2 (1) và y = x + 2 (2) có hai giao điểm là ( -1; 1) ; (2; 4). 0,25 2 xy−=3 xy= + 3 0,5  ⇔  231xy+= 2(yy++ 3) 3 = 1 xy= + 3 0,5 ⇔  55y = − x = 2 ⇔  Vậy, hệ phương trình có một nghiệm duy nhất là (2; -1) 0,5 y = −1 3 a/ ∆=' (m − 1)22 − 1. mm =− 2 + 1 1,0 1 b/ Để phương trình có nghiệm thì ∆≥'0 hay −2mm +≥ 10 ⇒ ≤ 2 0.5 4 Gọi x (m) là chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật ( ĐK x > 0) 0,5 Khi đó, chiều dài của mảnh đất là ( x + 5 ) (m) Vì diện tích của mảnh đất bằng 150m2, ta có phương trình: x. (x + 5 ) = 150 ⇔+−xx2 5 150 = 0(*) 0,5 0,5 Giải phương trình (*) được x1 =10 ( thỏa ĐK ) và x2 = −15 ( loại ) Vậy, Chiều rộng của mảnh đất là 10m, chiều dài của mảnh đất là 15m. 0,5 C a/ Ta c/m được tứ giác ECDF nội tiếp được B 1 E 2 ( Vì ECD =EFD = 900 ) 0,25   Suy ra CD21= ( góc nội tiếp cùng chắn M 5 1 cung EF ) (1) A D F O 0,25 Mặt khác, CD =  ( góc nội tiếp cùng 11 chắn cung AB ) (2)   Từ (1) và (2) suy ra CC12= 0,5 Do đó CA là tia phân giác của góc BCF b/ Ta có MF = MD ( MF là trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam  0,5 giác vuông), suy ra ∆MFD cân ở M và MBF= 2 D1 . Ta lại có BCF = 2 D ( từ câu a). Do đó BMF = BCF suy ra tứ giác 1 0,5 BCMF nội tiếp được. a/ Diện tích xung quanh của hình trụ: 1,0 2 Sxq =2ππ rh = 2 .5.10 = 100 π (cm ) b/ Thể tích của hình trụ : 6 V=ππ r22 h =5 .10 = 250 π (cm3 ) 0,5
3. 3 ĐỀ SỐ 2 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. (1,5điểm). a+ a  a- a  a) Rút gọn biểu thức P = +1  -1  với a≥≠ 0; a 1. a +1  a -1  b) Tính giá trị của P khi a= 4+2 3. 4xy+= 17 Bài 2. (1,5 điểm) Giải hệ phương trình :  231xy+= Bài 3. (1,5 điểm) Tìm m để phương trình x2- 5x - m + 7 = 0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn hệ thức 22+= xx1213. Bài 4. (2 điểm). Giải bài toán bằng cách lập phương trình : Một xe khách và một xe du lịch khởi hành đồng thời từ A để đi đến B . Biết vận tốc của xe du lịch lớn hơn vận tốc xe khách là 20 km/h . Do đó đến B trước xe khách là 50 phút . Tính vận tốc mỗi xe , biết quãng đường AB dài 100 km . Bài 5. (3,5điểm). Cho đường tròn (O; R) và một điểm S nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến SA, SB với đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Một đường thẳng đi qua S (không đi qua tâm O) cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm M và N với M nằm giữa S và N. Gọi H là giao điểm của SO và AB; I là trung điểm MN. Hai đường thẳng OI và AB cắt nhau tại E. a) Chứng minh IHSE là tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh OI.OE = R2. c) Cho SO = 2R và MN = R3. Tính diện tích tam giác ESM theo R.
4. 4 HƯỚNG DẪN VÀ THANG ĐIỂM CHẤM Bài 1 : (1,5 điểm) a) Rút gọn biểu thức : a+ a  a- a   a( a +1) a( a -1)  0,5 điểm P = +1  -1  =  +1 -1 a +1  a -1   a +1 a -1  = ( a +1)( a -1) = a -1 0,25 điểm Vậy P = a - 1 0,25 điểm b) Tính giá trị của P khi a= 4+2 3 2 0,25 điểm a = 4+2 3 = 3+2 3 +1 =( 3 +1) = 3 +1 P = a -1= 3 +1-1= 3 0,25 điểm Bài 2 : (1,5 điểm) Giải hệ phương trình : 4xy+= 17 yx=17 − 4 yx=17 − 4  ⇔  ⇔  231xy+= 231xy+= 2xx+ 3(17 −= 4 ) 1 0,5 điểm yx=17 − 4 yx=17 − 4 ⇔  ⇔  0,5 điểm 2xx+− 51 12 = 1 10x = 50 yx=17 − 4 x = 5 ⇔  ⇔  0,5 điểm x = 5 y = −3   Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là : ( 5 ; -3 ) 2 Bài 3 : (1,5 điểm) Phương trình : x - 5x - m + 7 = 0 ( 1 ) Ta có ∆= 25 −−+ 4( m 7) = 25 + 4m −28 = 4m − 3 3 0,25 điểm Phương trình (1) có hai nghiệm xx12; ⇔ ∆= 4m − 3 ≥ 0 ⇔ m ≥ 4 3 22 2 0,25 điểm Với điều kiện m ≥ , ta có : x1 +x 2 =( x 1 +x 2) -2 x 12 x 4 2 ⇔ ( x1 +x 2) -2 x 12 x = 13 0,25 điểm  −b xx+= =5  12a Theo hệ thức Viet ta có :  c 0,25 điểm xx.7= =−+ m  12 a Do đó ta có : 25 - 2(- m + 7) = 13 ⇔ 2m = 2 ⇔ m = 1 ( thỏa mãn điều kiện ). 0,25 điểm Vậy m = 1 là giá trị cần tìm 0,25 điểm
5. 16 c) Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF luôn thuộc một đường thẳng cố định. Bài 5:( 0,5 điểm) Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng: abc 1 0 ⇒ m 0). 0,5 xy = 40 xy = 40 ⇔ Theo bài ra ta có hệ phương trình: . 0,5 Bài 3 (x + 3)( y + 3) = xy + 48 x + y = 13 2 điểm Suy ra x, y là hai nghiệm của phương trình: t2 – 13t + 40 = 0 (1). 0,5 Giải phương trình (1) ta được hai nghiệm là 8 và 5. 0,5 Vậy các kích thước của hình chữ nhật là 8 cm và 5 cm.
6. 17 a) Tứ giác BEFI có: C E BIF = 900 (gt) 0.5 BEF = BEA = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) F Suy ra tứ giác BEFI nội tiếp đường tròn đường kính BF 0.5 A B I O b) Vì AB ⊥ CD nên AC = AD , = suy ra ACF AEC . Xét ∆ACF và ∆AEC có góc A chung và D ACF= AEC . Bài 4 Suy ra: ∆ACF ~ với ∆AEC 0,5 AC AE 3,5 ⇒= AF AC điểm 2 ⇒ AE.AF = AC 0,5 c) Theo câu b) ta có ACF = AEC , suy ra AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆CEF (1). 0.5 Mặt khác ACB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra AC⊥ CB (2). Từ (1) và (2) suy ra CB chứa đường kính của đường tròn ngoại tiếp ∆CEF, mà CB cố định nên tâm của đường tròn ngoại tiếp ∆CEF thuộc CB cố định khi E thay đổi 0.5 trên cung nhỏ BC. a a a + c Ta có < < (1) a + b + c b + a a + b + c b b b + a < < (2) a + b + c b + c a + b + c Bài 5 c c c + b < < (3) a + b + c c + a a + b + c 0,5 0,5 a b c Cộng từng vế (1), (2), (3), ta được : 1 < + + < 2, đpcm điểm a + b b + c c + a
7. 18 ĐỀ SỐ 7 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) A- Trắc nghiệm : (Mỗi câu đúng 0,25đ) Hãy khoanh tròn vào chữ cái đứng trước phương án đúng trong các câu sau: Câu 1- Điểm A(-2;-1) thuộc đồ thị hàm số nào ? x2 −x2 −x2 x2 A. y = B. y = C. y = D. y = 4 2 4 2 Câu 2- Cho hàm số y = ax2. đồ thị là một parabol đi qua điểm M(-1;1) thì có hệ số a là A. 1 B.-1 C.2 D.3 Câu 3- Phương trình bậc hai : 2x2 – x – 1 =0 có hệ số a,b,c lần lượt là: A. 2 ; 1; 1 B. 2; -1; -1 C. 2; 1; -1 D. 2; -1; 1 Câu 4- Trong các phương trình sau phương trình nào có 2 nghiệm phân biệt A. xx2 −6 += 90 B. x2 + 1 = 0 C. 3x2 – 5x – 1 = 0 D. x2 + x + 1 = 0 Câu 5- Phương trình x2 – 4x + 4 = 0 có nghiệm: A. x1 = 2 B. xx12= = 2 C. xx12= = −2 D. Vô nghiệm Câu 6- Gọi x1,x2 là nghiệm của phương trình 2x2 – 3x – 5 = 0 ta có : −35 35 A. x+= x;. xx =− B. x+= x;. xx =− 1 222 12 1 222 12 35 −35 C. x+= x;. xx = D. x+= x;. xx = 1 222 12 1 222 12 Câu 7- Cho đường tròn tâm O có bán kính 2cm và đường tròn O’ có bán kính 3cm biết OO’ = 2cm. vị trí của hai đường tròn này là: A. Tiếp xúc trong B. Tiếp xúc ngoài C. Đựng nhau D. Cắt nhau. Câu 8- Góc nội tiếp chắn nữa đường tròn là A. Góc vuông B. Góc nhọn C. Góc tù D. Góc bẹt Câu 9- Cho đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cân ở A và BAC = 400 thì cung tròn chứa điểm A có số đo là : . A. 600 B. 1200 C. 1000 D. 2800 Câu 10- Trong các hình dưới đây hình nào nội tiếp được đường tròn. A. Hình thoi B. Hình chữ nhật C. Hình thang D. Hình bình hành Câu 11- Tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn (O), biết  = 600 thì số đo góc C bằng : A. 1200 B. 900 C. 600 D. 300
8. 19 Câu 12- Một bể nước hình trụ cao 2m, bán kính đáy 1m có thể tích là : A. π ()m3 B. 2π ()m3 C. 3π ()m3 D. 4π ()m3 B- Tự luận : (7đ) 4xy+= 7 16 Bài 1: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình:  4xy−=− 3 24 Bài 2: (2,0 điểm) Cho phương trình ẩn x : x2 −4 xm + −= 10 (1) a) Giải phương trình (1) với m = -4 b) Với x1, x2 là nghiệm phương trình (1). Tìm giá trị của m, biết x1 – x2 = 2 Bài 3: (1,0 điểm) Một hình chữ nhật có chiều rộng bé hơn chiều dài là 4m, biết diện tích 320m2. Tính chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật. Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nối tiếp đường tròn tâm (0). Vẽ hai đường cao BE và CF. a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh AF E= ACB c) Chứng minh AO ⊥ EF HƯỚNG DẪN VÀ THANG ĐIỂM CHẤM A- Trắc nghiệm : (Mỗi câu đúng 0,25đ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A B C B B D A D B A B B- Tự luận : (7đ) Bài Lời giải sơ lược Điểm Bài 1 Giải phương trình: (1,0 điểm) 4xy+= 7 16 10y = 40  ⇔  4xy−=− 3 24 4xy+= 7 16 0,25 y = 4 y = 4 ⇔  ⇔  4x += 7.4 16 4x = 16 − 28 0,25 y = 4 y = 4 ⇔  ⇔  = − = − 4x 12 x 3 0,25 Vậy hệ phương trình có1 nghiệm duy nhất: (x; y)= ( −3 ; 4) 0,25 Bài 2 a) Với m = -4 thì phương trình (1) có nghiệm x1 = -1; 0,5đ (2,0 điểm) x2 = 5. 0,5đ
9. 20 xx−=2 x = 3 0,5đ b) Ta có 12 ⇔ 1   xx12+=4 x2 =1 0,5đ Theo Viet x1.x2 = m – 1 hay 3.1 = m -1 ⇔=m 4 Bài 3 Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x (m); ( x > 4) (1,0 điểm) Thì chiều rộng của hình chữ nhật là x - 4 (m) 0,25đ Ta có phương trình: x(x-4) = 320 0,25đ ⇔ x2 – 4x + 320 = 0 ⇒ x1 = 16 (TMĐK) x2 = -20 (loại) 0,25đ Vậy chiều dài 16(m); Chiều rộng 12 (m) 0,25đ Bài 4 (3,0 điểm) y A x E F O B C BFC =1( v gt ) a) Ta có : BEC=1 v 0,5đ ⇒ tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC 0,5đ b) Ta có : AF EB+= EF 1800 (kề bù) ACB+=EF B 1800 (Tứ giác BFEC nội tiếp) 0,5đ ⇒=AF E ACB 0,5đ c) Kẻ tiếp tuyến xAy. Ta có: xAB = ACB (cùng chắn AB ) 0,25đ AFE= ACB (cm trên) ⇒= AFE xAB (so le trong) 0,25đ ⇒ // EF xy Mà xy⊥ AO (t/c tiếp tuyến) 0,25đ ⇒⊥EF AO (đpcm) 0,25đ
10. 21 ĐỀ SỐ 8 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2điểm) Chọn phương án trả lời đúng và ghi vào bài kiểm tra. 1 1/ Điểm nào sau đây nằm trên đồ thị hàm số y= fx() = x2 2 A. điểm M(-2;-1) B. điểm N(-2;-2) C. điểm P(-2;2) D.điểm Q(-2;1) 2/ Cho phương trình (ẩn x): x2 – (m+1)x +m = 0. Khi đó phương trình có 2 nghiệm là A. x1 = 1; x2 = m. B. x1 = -1; x2 = - m. C. x1 = -1; x2 = m. D. x1 = 1; x2 = - m 3/ Diện tích hình tròn nội tiếp hình vuông có cạnh 8 cm là: A. 4π ( cm2 ) B. 16 π( cm2 ) C. 64 π ( cm2 ) D. 10 π ( cm2 ) 4/ Một hình nón có bán kính đáy bằng 3 cm, đường cao bằng 21 cm thì thể tích là: A. 63 π ( cm3 ) B. 11π ( cm3 ) C. 33π ( cm3 ) D. 20 π ( cm3 ) Câu 2: ( 2,5 điểm ) 1/ Giải các phương trình sau: a/ x2 - 3x + 1 = 0 b/ x4 + 6x2 - 7 = 0 2/ Cho phương trình 3x2 - 5x + 1 = 0. Goi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tính giá 2 2 trị của biểu thức: A = x1 x2 + x1x2 Câu 3: (1,5 điểm) Quãng đường Hải Dương – Thái Nguyên dài 150km. Một ô tô đi từ Hải Dương đến Thái Nguyên rồi nghỉ ở Thái Nguyên 4 giờ 30 phút, sau đó trở về Hải Dương hết tất cả 10 giờ. Tính vận tốc của ô tô lúc đi ( Biết vận tốc lúc về nhanh hơn vận tốc lúc đi là 10km/h ). Câu 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O); tia AO cắt đường tròn (O) tại D ( D khác A). Lấy M trên cung nhỏ AB ( M khác A, B ). Dây MD cắt dây BC tại I. Trên tia đối của tia MC lấy điểm E sao cho ME = MB. Chứng minh rằng: a/ MD là phân giác của góc BMC b/ MI song song BE. c/ Gọi giao điểm của dường tròn tâm D, bán kính DC với MC là K (K khác C ). Chứng minh rằng tứ giác DCKI nội tiếp. Câu 5: (1,0 điểm) Giải phương trình: - x2 + 2 = 2 − x
11. 22 HƯỚNG DẪN VÀ THANG ĐIỂM CHẤM Câu Phần Nội dung Điểm Câu 1 1/ Chọn C 0.5 (2 điểm) 2/ Chọn A 0.5 3/ Chọn B 0.5 4/ Chọn A 0.5 Câu2 1-a) PT có ∆ = 5  0 ⇒ PT luôn có nghiệm (2,5 điểm ) 3 + 5 3 − 5 0.25 x1 = ; x2 = 2 2 3 + 5 3 − 5 0.5 Vậy PT có hai nghiệm x1 = ; x2 = 2 2 0,25 1-b) x4 +6x2 - 7 = 0 (1) Đặt x2 = t ( ĐK t ≥ 0 ). Phương trình trở thành: t2 + 6t -7 = 0 (2) 0.25 Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt : t1 = 1 ( TM ) ; t2 = -7 ( loại ) 0.25 -Với t = t1 = 1 ta có x2 = 1 suy ra x = 1 Vậy phương trình (1) có nghiệm: x1 = 1 ; x2 = -1 0.25 2) 3x2 - 5x + 1 = 0 PT có = 13 0 suy ra PT hai nghiệm x1, x2. 0.25 5 1 Ta có x1 + x2 = ; x1x2 = 3 3 0.25 5 1 5 Do đó A = x1x2(x1 + x2 ) = . = 3 3 9 0.25 Câu 3 Gọi vận tốc lúc đi của ô tô là x km/h (đk x > 0) 0,25 (1.5 điểm) 150 0,25 =>Thời gian đi từ Hải Dương đến Thái Nguyên là giờ x Vận tốc của ô tô lúc về là (x+10) km/h 0,25 150 =>Thời gian đi từ Thái Nguyên về Hải Dương là giờ x +10 9 Nghỉ ở Thái Nguyên 4giờ 30 phút = giờ 2 Tổng thời gian đi, thời gian về và thời gian nghỉ là 10 giờ nên ta 150 150 9 có phương trình: + + = 10 0,25 x x +10 2 11x2 – 490 x – 3000 = 0 0,25
12. 23 x = 50  Giải phương trình trên ta có 60 x = −  11 Kết hợp với x > 0 ta có vận tốc lúc đi của ô tô là 50 km/h 0,25 AA E M N Câu 4 O K ( 3 điểm ) B I C D 0,25 a) Ta có O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC cân tại A ⇒BAD = CAD ⇒= DC BD 0,5 ⇒=BMD CMD ( Hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) Vậy MD là phân giác của góc BMC 0,5 b) Ta có MD là phân giác của góc BMC ⇒=BMC 2 DMC (1) Mà ∆MEB cân tại M ( Vì theo giả thiết ME = MB ) 0,25 ⇒=BMC 2 MEB (2) ( Tính chất góc ngoài tam giác ) 0,25 Từ (1) và (2) ⇒=DMC MEB Mà chúng ở vị trí đồng vị Nên suy ra : MI // EB 0,25 0,25 c) sd MB + sd BD Ta có : DCK = MCD = ( Góc nội tiếp chắn MBD ) 2 sd MB + sdCD Có : DIC = ( góc có đỉnh ở bên trong đường tròn) 2 Mà theo C/m trên : BD = CD 0,25 ⇒=DCK DIC (3) Ta có DK = DC ( bán kính của đường tròn tâm D) 0,25 ⇒∆DCK cân tại D ⇒=DKC DCK (4) ⇒= Từ (3) và (4) : DKC DIC .Suy ra : Tứ giác DCKI nội tiếp 0,25 (đpcm) 0,25 Câu 5 - x2 + 2 = 2 − x ( ĐKXĐ x < 2) ( 1 điểm ) ⇔ x2 - 2 + 2 − x = 0
13. 24 1 1 ⇔ ( x - )2 - ( 2 − x - )2 = 0 2 2 ⇔ x - 2 − x = 0 (1 ) x + 2 − x - 1 = 0 (2) 0.5 Giải PT (1) ta được x = 1 ( TM ĐK ) 1− 5 Giải PT (2) ta được x = ( TM ĐK ) 2 1− 5 0.5 Vậy PT đã cho có hai nghiệm x = 1; x = 2 ĐỀ SỐ 9 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (2,0 điểm) (2.0 điểm): Cho hệ phương trình: xy+=1 (1)  mx−= y2 m (2) a) Giải hệ phương trình khi m = 1 b) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Bài 2 (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình: Một người đi từ A đến B dài 60 km với một vận tốc xác định, khi từ B trở về A người đó đi với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 5km/h nên thời gian đi nhiều hơn thời gian về là 60 phút. Tính vận tốc lúc đi của người đó. Bài 3 (1,5 điểm) Cho phương trình x2 - 6x + m = 0 a) Giải phương trình với m = -7; b) Tính giá trị của m biết rằng phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 - x2 = 4 Bài 4 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên cạnh AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Cạnh BC cắt đường tròn tại E. Chứng minh rằng: a) ABCD là một tứ giác nội tiếp b) CA.CM = CB.CE. c) CA là phân giác của SCB . d) ABES là hình thang. Bài 5 (0,5 điểm) Cho x + y = 23. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A= x7− + y8−
14. 25 HƯỚNG DẪN VÀ THANG ĐIỂM CHẤM BÀI CÂU HƯỚNG DẪN GIẢI ĐIỂM 1 Cho hệ a) Giải hệ xy+=1 (1) Thay m=1 được hệ  0,5 xy−=2 (2) 1  3 x = (1)  2 2 Tìm được nghiệm  0,5 −1 điểm  y = (2)  2 b) Tìm các giá trị của m xy+=1 (1) Biến đổi được  0,5 1 (m +1) xm=1 + 2 (3) Hệ có nghiện duy nhất ⇔(3) có nghiệm duy nhất ⇔ m≠-1 0,5 2 Giải bài toán Gọi vận tốc khi đi là x km/h(x > 0) ⇒ vận tốc khi về là x + 5 0,25 Thời gian khi đi là 60/x , khi về là 60/(x+5) , đổi 60’=1h 0,25 2 Lập luận để có pt 60/x – 60/(x + 5) =1 0,5 điểm Giải pt được x1= -20 0⇔ m<9 0,25 điểm Áp dụng hệ thức Viet có: x1+x2=6; x1.x2= m xx612+= Xét giải được x1=5, x2=1 ⇒m=5(TMĐK m<9)  0,25 xx412−= TL: m=5 thì pt có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 - x2 =4 4 Cho tam giác ABC 4 a ABCD là
15. 26 điểm 0,5 1 Vẽ hình đúng đến câu a) Cm được: BAC = BDC = 900 ⇒ ABCD nội tiếp 0,5 b CA.CM = CB.CE Chứng minh được ∆ABC ∆EMC(g, g) 0,5 1 ⇒AC/CE = CB/CM ⇔CA.CM = CB.CE 0,5 c CA là Chứng minh được ACB = ADB 0,5 1 Chứng minh được ADB = SCM ⇒ ACB = ACS ⇒CA là phân giác 0,5 d ABSE là Chứng minh được CES = CDx 0,5 Chứng minh được CBA = CDx 0,25 ⇒ CES = CBA ⇒ ES//BA ⇒ABES là hình thang 0,25 5 Tìm giá trị ĐK : x≥7; y≥8 Áp dụng BĐT (a+b)2 ≤2(a2+b2) cho x7− và y8− 0, 5 Ta có A2≤ 2(x-7+y-8)= =16, A≥0 ⇒A≤4 ⇒ GTLN của A = 4 ⇔ x7− = y8− = 2⇔x=11 và y = 12 ĐỀ SỐ 10 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Bài I: (2 điểm) 12 Cho biểu thức P = − với x≠> 4,x 0 x− 2x x4− 1) Rút gọn biểu thức P 2) Chứng minh rằng P 4,x 0
16. 27 1 3) Tìm những giá trị của x để P = − 15 Bài II: (2,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Một người đi ô tô từ A đến B cách nhau 90km. Khi đi từ B trở về A người đó tăng tốc độ 5km/h so với lúc đi, vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 15 phút. Tính tốc độ của ô tô lúc đi từ A đến B. Bài III: (2,0 điểm) 108 63 −=7  xy 1) Giải hệ phương trình  81 84  −=7  xy −1 1 2) Cho đường thẳng (d) :y= x + 2 và Parabol (P) :y= x2 trên hệ trục tọa độ Oxy. 2 4 a) Vẽ parabol (P) và đường thẳng (d) đã cho. b) Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (P). Tìm điểm N trên trục hoành sao cho tam giác NAB cân tại N. Bài IV: (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) và dây BC cố định, BC= R 3. A là điểm di động trên cung lớn BC (A khác B, C) sao cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H. Kẻ đường kính AF của đường tròn (O), AF cắt BC tại điểm N. a) Chứng minh tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AE.AB = AD.AC c) Chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai K (K khác O). Chứng minh ba điểm K, H, F thẳng hàng. Bài V: (0,5 điểm) 111 Cho hai số thực m và n khác 0 thỏa mãn +=. Chứng minh rằng trong hai mn2 phương trình x2 + mx += n 0 và x2 + nx += m 0 có ít nhất một phương trình có nghiệm. HƯỚNG DẪN VÀ THANG ĐIỂM CHẤM Bài Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM 12 Cho biểu thức P = − với x≠> 4,x 0 x− 2x x4− Rút gọn biểu thức P I a) (0,75 12 P = − 0,25 điểm) x( x2−) ( x2 −+)( x2)
17. 28 x+ 2 2x P = − 0,25 x( x2+−)( x2) x( x2 −+)( x2) −1 Thu gọn ta được P = 0,25 x( x2+ ) Chứng minh rằng P 4,x 0 x≠> 4,x 0 x0>  b) Với mọi x≠> 4,x 0 ta có  ⇒x( x2 +>) 0 0,25 (0,75 x20+> điểm) −1 − Mà 10 nên P0= 0 0,25 Vận tốc của ô tô đi từ B trở về A là x5+ (km/h) 0,25 90 Thời gian ô tô đi từ A đến B là (h) 0,25 x 90 II Thời gian ô tô đi từ B trở về A là (h) 0,25 x5+ 1 Đổi 15 phút = h. Thời gian về ít hơn thời gian đi là 15 phút nên ta được 4 0,25 90 90 1 phương trình −= x x5+ 4 Giải phương trình được x = 40 (thỏa mãn điều kiện) 0,5 Vậy vận tốc của ô tô lúc đi từ A đến B là 40km/h 0,25 2 điểm 108 63 −=7 III 1  xy (1 Giải hệ phương trình  81 84 điểm)  −=7  xy
18. 29 ĐKXĐ: x,y≠ 0 0,25 1 = u x 108u−= 63v 7 Đặt  ta thu được hệ phương trình  0,25 1 81u−= 84v 4  = v   y 1 −1 Giải hệ ta được u;= v = 0,25 27 21 Từ đó suy ra được x= 27;y = − 21 0,25 2 −1 1 Cho đường thẳng (d) :y= x + 2 và Parabol (P) :y= x2 trên hệ trục 2 4 tọa độ Oxy a) Vẽ parabol (P) và đường thẳng (d) đã cho 0,5 (0,5 Học sinh tự vẽ điểm) 0,5 Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (P). Tìm điểm N trên trục hoành sao cho tam giác NAB cân tại N. 11 Lập phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: x2 =−+ x2 42 x2= 0,25 Giải phương trình ta được  x4= − Thu được A( 2;− 1) ; B(− 4;4) Điểm N nằm trên trục hoành tọa độ N( a;0) b) NA= NB (0,5 Tam giác NAB cân tại N nên ta có  điểm) N∉ AB  −22 += + +2  (a2) 1( a4) 4 ⇔  1 0,25 −a20 +≠  2 9 Giải được a = − 4 9 Vậy tọa độ điểm N− ;0 4 3,5 IV điểm a Chứng minh tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp 1,0
19. 30 0,25 Tứ giác BEDC có BEC = BDC = 900 0,75 Suy ra tứ giác BEDC nội tiếp (hai góc kề bằng nhau cùng chắn cung BC) Chứng minh AE.AB = AD.AC 1,0 Hai tam giác ∆AED  ∆ACB (g - g) vì có A chung và AED = ACB 0,5 b (cùng bù với BED ) AE AC Vì ∆AED  ∆ACB ⇒= 0,25 AD AB ⇒=AE.AB AD.AC 0,25 Chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành 1,0 Ta có BDC = ACF = 900 ⇒ CF // BD hay CF // BH (1) 0,25 c Ta có ABF = AEC = 900 ⇒ BF // CE hay BF // CH (2) 0,25 Từ (1) và (2) ⇒ Tứ giác BHCF là hình bình hành 0,5 Chứng minh ba điểm K, H, F thẳng hàng 0,5 Tứ giác ADHE nội tiếp đường tròn đường kính AH ⇒=AKH 900 (1) d Mà tam giác AKF nội tiếp đường tròn đường kính AF ⇒=AKF 900 (2) 0,5 Từ (1) và (2) suy ra ba điểm K, H, F thẳng hàng 111 Cho hai số thực m và n khác 0 thỏa mãn +=. Chứng minh rằng mn2 trong hai phương trình x2 + mx += n 0 và x2 + nx += m 0 có ít nhất một phương trình có nghiệm. 0,5 V điểm Với m, n ≠ 0 111 +=⇒mn = 2(m + n) 0,25 mn2 2 2 Phương trình x+ mx += n 0 (1) có ∆=1 m − 4n
20. 31 2 2 Phương trình x+ nx += m 0 (2) có ∆=2 n − 4m 22 ∆+∆=+−+≥−+12m n 4m( n) 2mn4m( n) (theo BĐT Cô - si) 0,25 ∆12 +∆ ≥4m( + n) − 4m( + n) = 0 Vậy hai phương trình đã cho có ít nhất một phương trình có nghiệm