Đề thi giữa học kì 2 môn Toán học Lớp 9 - Năm học 2021-2022 - Trường THCS Đoàn Thị Điểm (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi giữa học kì 2 môn Toán học Lớp 9 - Năm học 2021-2022 - Trường THCS Đoàn Thị Điểm (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THCS ĐOÀN THỊ ĐIỂM ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ 2 MÔN: TOÁN 9 NĂM HỌC: 2021-2022 Thời gian: 60 phút ĐỀ 1 Câu 1. Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sau: a) 3x + y = 5. b) 7x + 0y = 21. Câu 2. Giải các hệ phương trình: 5xy+= 2 12 a) 2xy−= 2 2 35xy2 −= b) 2 2 3xy 18+= 2x + by = −4 Câu 3. Xác định a, b để hệ phương trình nhận cặp số (1 ; -2) là nghiệm. bx − ay = −5 Câu 4 Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 1310 chiếc áo. Biết rằng trong một ngày, tổ thứ nhất may được nhiều hơn tổ thứ hai là 10 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ trong một ngày may được bao nhiêu chiếc áo? Câu 5 Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Gọi H là giao điểm của ba đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC. a) Chứng minh rằng AEHF và AEDB là các tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Vẽ đường kính AK của đường tròn (O). Chứng minh tam giác ABD và tam giác AKC đồng dạng với nhau. Suy ra AB.AC = 2R.AD. c) Chứng minh rằng OC vuông góc với DE. ĐÁP ÁN Câu 1. a) 3x + y = 5. y = 5 – 3x Nghiệm tổng quát của phương trình là (x R ; y = 5 – 3x) b) 7x + 0y = 21. Trang | 1
2. x = 3 Nghiệm tổng quát của phương trình là (x = 3 ; y R) Câu 2. 5 2xy 12+= a) 2 2xy 2−= Cộng từng vế hai pt của hệ ta được, 7x = 14 Suy ra, x = 2 Tính được y = 1 Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x = 2; y = 1). 35xy2 −= b) 2 2xy+= 3 18 9 3xy 152 −= Hệ pt tương đương 2 2 3xy 18+= x2 = 3 x = 3 Với x = thì y = 4 Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm là ( 3 ; 4) và ( − 3 ; 4). Câu 3 2x + by = −4 Hệ phương trình nhận cặp số (1 ; -2) là nghiệm khi và chỉ khi: bx − ay = −5 224−=−b b = 3 suy ra ba+=−25 a =−4 Câu 4 Gọi x, y (chiếc) lần lượt là số áo của tổ thứ nhất và tổ thứ hai mỗi ngày may được. ĐK: x, y nguyên dương 3xy+= 5 1310 Theo đề bài, ta có hệ phương trình: xy−=10 x =170 Giải hệ phương trình trên tìm được: (thỏa mãn đk) y =160 Vậy trong một ngày, tổ thứ nhất may được 170 chiếc áo; tổ thứ hai may được 160 chiếc áo. Câu 5 Trang | 2
3. A E x F O H B D C K a) Ta có AEH =90 và AFH =90 Do đó AE H + A F H =180 Tứ giác AEHF nội tiếp được. Ta lại có, AEBADB== 90 E và D cùng nhìn cạnh AB dưới một góc vuông Vậy tứ giác AEDB nội tiếp được. b) Ta có ACK =90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Hai tam giác vuông ADB và ACK, có: ABD= AKC (góc nội tiếp cùng chắn cung AC) Suy ra ABD ∽ AKC (g-g) Trang | 3
4. A B A D Từ đó ta được, = A K A C => AB.AC = AK.AD => AB.AC = 2R.AD c) Vẽ tiếp tuyến xy tại C của (O) Ta có OC ⊥ Cx (1) Mặt khác, AEDB nội tiếp A B C D= E C Mà A B C A= C x Nên A C x D= E C Do đó Cx // DE (2) Từ (1) và (2) ta có: OC ⊥ DE. ĐỀ 2 Câu 1 1. Cho hàm số y a= x 2 . Tìm a biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(-1; 1) 2. Giải các phương trình sau: a) xx2 −=20 b) xx2 ++=320 15− x c) +=1 xx−−22 Câu 2 (Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình) Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 20 m. Nếu gấp đôi chiều dài và gấp 3 lần chiều rộng thì chu vi của hình chữ nhật là 480 m. Tính chiều dài và chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật đó. Câu 3 Cho phương trình x2 −2 mx − 3 = 0. 1) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. 22 2) Gọi xx12, là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để xx12+=10 Câu 4 Trang | 4
5. Cho parabol (P :) y x = 2 và đường thẳng (d:) y2m3x2m2=+−+( ) Chứng minh rằng với mọi m parabol (P) và đường thẳng (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Tìm m sao cho hai giao điểm đó có hoành độ dương. ĐÁP ÁN Câu 1 1) Cho hàm số y a= x 2 . Tìm a biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(-1; 1) Thay x = -1; y = 1 vào hàm số ta được 1 = a.(-1)2 Tính được a = 1 2) Giải các phương trình sau: a) xx2 −=20 x(x - 2) = 0 x01 = x22 = Vậy phương trình có nghiệm x = 0 ; x = 2 b) xx2 +3+= 2 0 Có a – b + c = 0 ( Tính cũng cho điểm như vậy ) x11 =− x22 =− Vậy phương trình có nghiệm x = - 1 ; x = - 2 15− x c) +=1 Điều kiện x2 xx−−22 1 + x – 2 = 5 – x 2x = 6 x = 3 (Thỏa mãn ĐK) Vậy phương trình có nghiệm x = 3 (Nếu thiếu ĐK, giải ra không đối chiếu ĐK hoặc thiếu cả hai thì trừ 0,25 điểm) Trang | 5
6. Câu 2 Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 20 m. Nếu gấp đôi chiều dài và gấp 3 lần chiều rộng thì chu vi của hình chữ nhật là 480 m. Tính chiều dài và chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật đó. Gọi chiều dài của hình chữ nhật x (m) Chiều rộng của hình chữ nhật y ( m ) (điều kiện x > y >0 ) Chiều dài hơn chiều rộng 20 m nên ta có phương trình x – y = 20 (1) Nếu gấp đôi chiều dài và gấp 3 lần chiều rộng thì chu vi của hình chữ nhật là 480 m nên ta có phương trình: ( 2x + 3y ).2 = 480 (2) xy20−= Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình (2x3y).2480+= x 6= 0 Giải hệ ta được y 4= 0 Đối chiếu với điều kiện ta thấy x, y thỏa mãn Vậy chiều dài của hình chữ nhật 60 (m) Chiều rộng của hình chữ nhật 40 ( m ) Câu 3 1) xmx2 −−=230. 2 =−−−=+'m1.(3)m3( ) 2 Có m0m'm30m22  =+  Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với  m 2) Với phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x12+= x 2m Áp dụng hệ thức Viet ta có x12 .x=− 3 22 xx12+=10 2 (x1+ x 2 ) − 2x 1 x 2 = 10 Trang | 6
7. (2m)2.(3)102 −−= 4m2 = 4 m1= m1=− 22 Vậy m = 1 ; m = -1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn xx12+=10 Câu 4 Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (p) : x2m3x2m22 =+−+ ( ) −++−=x2m3x2m2012 ( ) ( ) 2 2 2 ='m32m2m4m11m270m −+ −−=++=++  ( ) ( ) ( ) Do đó (1) có hai nghiệm phân biệt m (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt với m . +=+ xx2m312 ( ) x12 , x là hai nghiệm phương trình , áp dụng định lý Viete ta có: xx2m212=− xx012+ Hai giao điểm đó có hoành độ dương > 0 xx012 2( m30+ ) m3 − m1 2m20− m1 Vậy với m1 thì cắt tại hai điểm phân biệt với hoành độ dương. ĐỀ 3 x x−+ 1 x x 1 2( x−+ 2 x 1) Câu 1: Cho biểu thức: A = − : . x−+ x x x x1− a) Rút gọn A. b) Tìm x để A < 0. Câu 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trình trong 4 ngày thì xong công việc. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 9 ngày rồi người thứ hai đến cùng làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong công việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong việc? Trang | 7
8. mx y+= 5 Câu 3: Cho hệ phương trình: (I) 2x y− 2 = − a) Giải hệ (I) với m = 5. b) Xác định giá trị của m để hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất và thỏa mãn: 2x + 3y = 12 Câu 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn (M khác A và B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F; tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K. 1. Chứng minh rằng: AEMB là tứ giác nội tiếp và AI2 = IM.MB 2. Chứng minh BAF là tam giác cân 3. Chứng minh rằng tứ giác AKFH là hình thoi. Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Pa2ab3b2a1=−+−+ ĐÁP ÁN Câu 1 xx1xx1−+2x2x1( −+) A:=− a) xxxx−+ x1− (1)1(1)1xxxxxx−++−( ) ( ) x +1 A=−=22 2121xxxx −−x −1 ( ) ( ) b) x 0 x 0 Ax 001 x +1 0 x − 10 x −1 Câu 2 Gọi x (ngày) là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc. y (ngày) là thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc. (ĐK: x, y > 4) 1 1 Trong một ngày người thứ nhất làm được (công việc), người thứ hai làm được (công việc) x y 1 Trong một ngày cả hai người làm được (công việc) 4 111 Ta có phương trình: += (1) xy4 9 Trong 9 ngày người thứ nhất làm được (công việc) x Trang | 8
9. 91 Theo đề ta có phương trình: +=1 (2) x 4 1 1 1 += xy4 Từ (1) và (2) ta có hệ: (*) 91 +=1 x 4 x =12 Giải được hệ (*) và tìm được ()tmdk y = 6 Vậy người thứ nhất làm một mình trong 12 ngày thì xong công việc. Người thứ hai làm một mình trong 6 ngày thì xong công việc. Câu 3 mxy+=5mx + 2x = 3(m + 2)x = 3 (1) Ta có: 222222xyxyxy−= −−= −−= − Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất PT (1) có nghiệm duy nhất m + 2 ≠ 0 m ≠ - 2 3 3 x = x = m + 2 Khi đó hpt (I) m + 2 102+ m 22xy−= − y = 2 + m Thay vào hệ thức ta được: 6m = 12 m = 2 Câu 4 1. Tứ giác AEMB nội tiếp vì 2 góc: AEBAMB=90 = 0 Ax là tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) ⊥AxAB AMB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn =AMB 900 ABI là vuông tại A có đường cao AM =AI2 IM.IB 2, IAFlà góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn AE FAM là góc nội tiếp chắn EM Ta có: AF là tia phân giác của IAM IAF = FAM AE = EM Lại có: ABH và HBIlà hai góc nội tiếp lần lượt chắn cung và Trang | 9
10. => A B H H= B I BE là đường phân giác của B AF A E B là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn = ⊥AEB90BEAF0 BE là đường cao của B AF B A Flà cân tại B (BE vừa là đường cao vừa là đường phân giác) 3, B AFcân tại B, BE là đường cao BE là đường trung trực của AF H,KBEAKKF;AHHF == (1) AF là tia phân giác của I A M và B E A⊥ F AHK có AE vừa là đường cao, vừa là đường phân giác cân tại A =AH AK (2) Từ (1) và (2) AK= KF = AH = HF Tứ giác AKFH là hình thoi. Câu 5 Biểu thức: P= a − 2 ab + 3b − 2 a + 1(ĐK: a ;b 0 ) Ta có 3P=−+−+ 3a 6ab = 9b −++−+ 6a 33P a 6ab 9b 2a 6a 3 99 =−++−++3Pa( 6 ab − 9b2 a) 3 a3 42 2 222 333 =−++−+−3Pa2. a. 3 b3 b2a2. a. ( ) ( ) ( ) ( ) 222 2 2 333 1 =−+−− 3Pa3( b2a − ) với a;b 0 −P với a;b 0 Dấu “=” xảy ra 222 2 9 a3b0−= a = 4 (thỏa mãn ĐK) 3 1 a0−= b = 2 4 9 a = Vậy 1 đạt được 4 MinA =− 2 1 b = 4 ĐỀ 4 Câu 1: Giải các phương trình: 1) x2 += 8x 0 2) x2 − 2x 2 + 2 = 0 3) 3x2 − 10x + 8 = 0 4) 2x2 − 2x + 1 = 0 Trang | 10
11. Câu 2: Cho phương trình bậc hai: x6x2m102 −+−= (1). Tìm m để: 1) Phương trình (1) có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó. 2) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu. 3) Phương trình (1) có một nghiệm là x = 2. Tìm nghiệm còn lại. 4) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x 2 , thỏa mãn: x x12−= 4 Câu 3: Chứng tỏ rằng parabol yx= 2 và đường thẳng y 2m=+ x 1 luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt 2 có hoành độ giao điểm là và . Tính giá trị biểu thức: A= x1 + x 2 − x 1 + 2mx 2 + 3 . ĐÁP ÁN Câu 1 1) x8x0xx802 += += ( ) =x0 hoặc x = - 8. Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x0;x812== − 2) x2 − 2x 2 + 2 = 0 có ' = 2 − 2 = 0 Nên phương trình có nghiệm kép xx212== 3) 3x10x802 −+= có =−= ='25241'1 Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là 5− 1 4 51+ x ==; x2== 1 332 3 4) 2x2x102 −+= có =−='1210 − nên phương trình vô nghiệm. Câu 2 Phương trình (1) có nghiệm kép khi ' = 0 10 − 2m = 0 m = 5 Khi đó phương trình có nghiệm kép là: x12== x 3 2) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi a.c < 0 2m − 1 0 1 m 2 3) Phương trình (1) có một nghiệm là x = 2 nên 22 − 12 + 2m − 1 = 0 Trang | 11
12. =2 m 9 9 =m 2 Theo hệ thức Vi ét ta có x x12 6+= mà x21 = x42 = Vậy nghiệm còn lại là 4) Theo phần (1) phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khi ' 0 10 − 2m 0 m 5 x12 x 6+= Theo hệ thức Vi-et ta có x12 x 2m=− 1 22 xx4xx16xx4x12121212−= −= +−=( x16 ) ( ) −−=3642m116( ) −+=368m416 =m3 (Thỏa mãn) Câu 3 Phương trình hoành độ giao điểm của parabol yx= 2 và đường thẳng y2mx1=+ là x2mx102 −−= (1) có =+ 'm102 với mọi m Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x 2 Parabol và đường thẳng luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt. xx2m12+= Theo Hệ thức Vi-ét ta có: x12 x1 =− Do x1 là nghiệm phương trình (1) 22 Nên x1− 2mx 1 − 10 = x 1 = 2mx 1 + 1 2 2 Xét: x1+ 2mx 2 + 3 = 2m( x 1 + x 2 ) + 4 =2m.2m + 4 = 4m + 4 (1) 2 22 Xét: x1+ x 2 =( x 1 + x 2) = x 1 + x 2 + 2 x 1 x 2 Trang | 12
13. 2 2 =+−+=+(xx2x121212 x2) x x4m4 (2) Từ (1) và (2) suy ra A4m44m40=+−+=22 ĐỀ 5 Câu 1 Cho đường tròn (O; R) đi qua 3 đỉnh tam giác ABC, A 6= 0 0 , B 7= 0 0 1) Tính số đo các góc BOC, COA, AOB. 2) So sánh các cung nhỏ BC, CA, AB. 3) Tính BC theo R. Câu 2 Từ một điểm S ở ngoài đường tròn (O), kẻ tiếp tuyến SA và cát tuyến SBC với đường tròn (O), SB < SC. Một đường thẳng song song với SA cắt dây AB, AC lần lượt tại N, M. 1) Chứng minh: Tam giác AMN đồng dạng với tam giác ABC. 2) Chứng minh: BCMN là tứ giác nội tiếp. 3) Vẽ phân giác của góc BAC cắt dây BC tại D. Chứng minh: SDSB.SC2 = . 4) Trên dây AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Chứng minh: AO vuông góc với DE. ĐÁP ÁN Câu 1 A 600 O 700 B C H 1) ACB= 1800 −( BAC + ABC) =−+=1806070500000( ) Theo hệ quả góc nội tiếp 1 BAC= BOC BOC = 2.BAC = 1200 2 Trang | 13
14. 1 ABCAOCAOC2.ABC140= == 0 2 1 ACB= AOB AOB = 2.ACB = 1000 2 2) Ta có sđ ABAOB100==0 , sđ BCBOC120==0 , sđ ACAOC140==0 Do 100000 120 140 nên AB BC AC 3) Kẻ O H B⊥ C , OB = OC nên O B C cân tại O nên OH đồng thời là tia phân giác của tam giác và HB = HC (quan hệ đường kính dây cung) 1200 ==HOB60 0 2 R3 Do đó HBOB.sin== 60 0 2 ==BC2.HBR3 Câu 2 A S M N B O E D C 1) Do MN // SA nên ANMSAB= (SLT) mà ACB= SAB ANM = ACB Xét AMN và A B C có ANM= ACB , BAC chung AMN đồng dạng với (g.g) 2) Theo phần a) có MCB + MNB = ANM + MNB = 1800 BCMN là tứ giác nội tiếp. 3) Do BAD= CAD , ACB= SAB ta có SAD= SAB + BAD = ACB + CAD Trang | 14
15. mà SDAACDCADSADSDA=+ = S A Dcân tại S =S A S D (1) Xét S A B và S C A có A C B SA= B , S chung SASB đồng dạng với (g.g) = = SASB.SC2 (2) SCSA Từ (1) và (2) suy ra =S D2 S B . S C 4) Ta có =AEDABDc.g.cADEADBSAD == ( ) (theo3) mà SADOADSAO90ADEOAD90+== += 00 ⊥A O D E Trang | 15