Bộ 4 đề thi giữa học kì 2 môn Toán Lớp 9 (Có đáp án)

Nội dung text: Bộ 4 đề thi giữa học kì 2 môn Toán Lớp 9 (Có đáp án)

1. Phòng Giáo dục và Đào tạo Đề thi Giữa học kì 2 Môn: Toán lớp 9 Thời gian làm bài: 90 phút (Đề 1) Bài 1 (2,0 điểm) Cho hai biểu thức và với a. Tính giá trị của biểu thức A khi x = 16 b. Rút gọn biểu thức P c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Bài 2 (2,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Hai xí nghiệp cùng may một loại áo. Nếu xí nghiệp thứ nhất may trong 5 ngày và xí nghiệp thứ hai may trong 3 ngày thì cả hai xí nghiệp may được 2620 chiếc áo. Biết rằng trong một ngày xí nghiệp thứ hai may được nhiều hơn xí nghiệp thứ nhất 20 chiếc áo. Hỏi mỗi xí nghiệp một ngày may được bao nhiêu chiếc áo? Bài 3 (2,0 điểm) 1. Giải hệ phương trình sau:
2. 2. Cho hàm số y = x2 có đồ thị là Parabol (P) và hàm số y = x + 2 có đồ thị là đường thẳng (d) a. Hãy xác định tọa độ các giao điểm A, B của hai đồ thị hàm số trên b. Tính diện tích của tam giác OAB (O là gốc tọa độ) Bài 4 (3,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) với cạnh AB cố định khác đường kính. Các đường cao AE, BF của tam giác ABC cắt nhau tại H và cắt đường tròn lần lượt tại I, K, CH cắt AB tại D 1. Chứng minh tứ giác CEHF nội tiếp được trong một đường tròn. 2. Chứng minh 3. Chứng minh EF // IK 4. Chứng minh rằng khi C chuyển động trên cung lớn AB thì đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF luôn đi qua một điểm cố định Bài 5 (0,5 điểm) Giải phương trình Đáp án và hướng dẫn giải Câu 1: a. Với x = 16 (thỏa mãn điều kiện) thay vào biểu thức A ta được: b. Với ta có:
3. c. Ta có: Nên . Dấu bằng xảy ra khi (thỏa mãn) Vậy GTLN M = 1 khi x = 0 Câu 2: Gọi số áo mà xí nghiệp 1 và xí nghiệp 2 may trong 1 ngày lần lượt là x, y (chiếc áo), điều kiện:
4. Lập luận được hệ phương trình: (thỏa mãn) Câu 3: 1. Ta có: 2. a. Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình: x2 = x + 2. Giải phương trình trên tìm được: Với Với b. Gọi giao điểm của đường thẳng (d) với Oy là C ⇒ C(0;2) (đơn vị diện tích) Câu 4:
5. 1. Chứng minh tứ giác CEHF nội tiếp được trong một đường tròn Ta có hai đường cao AE và BE của tam giác ABC cắt nhau tại H nên H là trực tâm tam giác ABC. Khi đó CD vuông góc với AB. Xét tứ giác CEHF có: ⇒ tứ giác CEHF nội tiếp trong một đường tròn (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180° ) 2. Chứng minh Xét tứ giác CFDB có: ⇒ tứ giác CFDB nội tiếp đường tròn (tứ giác có hai góc cùng nhìn một cạnh bằng nhau)
6. Vậy (góc nội tiếp chắn cung CF) 3. Chứng minh EF // IK Chứng minh tương tự ý 2, ta được tứ giác AFEB nội tiếp đường tròn (cùng chắn cung AF) Mà (cùng chắn cung AK) Nên Vậy EF // IK (hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau) 4. Chứng minh rằng khi C chuyển động trên cung lớn AB thì đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF luôn đi qua một điểm cố định Gọi M là trung điểm BC Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AFEB, có AB là đường kính (vì ) Suy ra M là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AFFEB Khi đó, (góc nội tiếp chắn cung nhỏ bằng nửa số đo góc ở tâm) Mặt khác, ta chứng minh được các tứ giác AFHD và BEHD nội tiếp Khi đó, (Các góc nội tiếp cùng chắn một cung) Xét tứ giác EFDM, có Suy ra tứ giác EFDM nội tiếp đường tròn. Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF luôn đi qua điểm M cố định khi điểm C di chuyển trên cung lớn AB. Câu 5:
7. Điều kiện rồi đặt nhân tử chung Phòng Giáo dục và Đào tạo Đề thi Giữa học kì 2 Môn: Toán lớp 9 Thời gian làm bài: 90 phút (Đề 2) Bài 1 (2,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol và đường thẳng 1. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (Q). 2. Gọi A, B là hai giao điểm của (P) và (Q). Tính diện tích tam giác OAB, Bài 2 (2,5 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình: Trong tháng đầu, hai tổ sản xuất được 860 chi tiết máy. Đến tháng thứ hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 10%. Do đó, tháng thứ hai cả 2 tổ sản xuất được 964 chi tiết máy. Tính số chi tiết máy mỗi tổ đã sản xuất được trong tháng đầu. Bài 3 (4,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Dây CD vuông góc với AB tại E (E nằm giữa A và O; E không trùng A, không trùng O). Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC sao cho cung MB nhỏ hơn cung MC. Dây AM cắt CD tại F. Tia BM cắt đường thẳng CD tại K. 1. Chứng minh tứ giác BMFE nội tiếp. 2. Chứng minh BF vuông góc với AK và EK.EF = EA.EB 3. Tiếp tuyến của (O) tại M cắt tia KD tại I. Chứng minh IK = IF.
8. Bài 4. (1,0 điểm) Với các số a, b, c > 0 và thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh Đáp án và hướng dẫn giải Câu 1: a. Hoành độ giao điểm của (P) và (Q) là nghiệm của phương trình: b. Gọi A, B là hai giao điểm của (P) và )Q). Tính diện tích tam giác OAB.
9. Câu 2: Gọi số chi tiết máy mỗi tổ đã sản xuất được trong tháng đầu là x, y ( , chi tiết máy) Vì trong tháng đầu, hai tổ sản xuất được 860 chi tiết máy nên ta có phương trình: Vì đến tháng thứ hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 10%. Do đó, tháng thứ hai cả 2 tổ sản xuất được 964 chi tiết máy, nên ta có phương trình: Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: Vậy trong tháng đầu, số chi tiết máy mỗi tổ đã sản xuất được lần lượt là: 360 và 500. Câu 3:
10. a. Chứng minh tứ giác BMFE nội tiếp. Ta có Nên 4 điểm E, F, M, B cùng thuộc đường tròn đường kính BF, suy ra tứ giác BMFE nội tiếp. b. Chứng minh BF vuông góc với AK và EK.EF = EA.EB Nên F là trực tâm, suy ra c. Tiếp tuyến của (O) tại M cắt tia KD tại I. Chứng minh IK = IF. Ta có:
11. Câu 4: Ta có: CMTT: Mặt khác: Từ (1) và (2) Dấu “=” xảy ra khi
12. Phòng Giáo dục và Đào tạo Đề thi Giữa học kì 2 Môn: Toán lớp 9 Thời gian làm bài: 90 phút (Đề 3) Bài 1 (2 điểm) Giải các hệ phương trình sau: a. b. Bài 2 (2 điểm) Gải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình’ Hai tổ sản xuất trong tháng thứ nhất làm được 1000 sản phẩm. Sang tháng thứ hai, do cải tiến kĩ thuật nên tổ một vượt mức 20%, tổ hai vượt mức 15% so với tháng thứ nhất. Vì vậy, cả hai tổ sản xuất được 1170 sản phẩm. Hỏi tháng thứ nhất, mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu sản phẩm? Bài 3 (2 điểm) Cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Tìm a, b biết (d) song song với đường thẳng (d’) có phương trình: y = -3x + 5 và đi qua điểm A thuộc Parabol (P) có phương trình y = x2 có hoành độ bằng – 2. Bài 4 (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R), kẻ đường kính AB. Điểm M bất kì trên (O) sao cho . Từ M kẻ tại H. Vẽ đường tròn (I) đường kính MH cắt MA, MB lần lượt tại E và F. a. Chứng minh: và ba điểm E, I, F thẳng hàng. b. Kẻ đường kính MD của đường tròn (O), MD cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai là N . Chứng minh tứ giác BONF nội tiếp. c. MD cắt EF tại K. Chứng minh
13. d. Đường tròn (I) cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là P . Chứng minh ba đường thẳng MP, FE và BA đồng quy. Bài 5 (0,5 điểm) Cho các số không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Đáp án và hướng dẫn giải Câu 1: a. Ta có: vậy nghiệm của hệ phương trình là b. Điều kiện Ta có: Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = (100;0)
14. Câu 2: Gọi số sản phẩm tổ 1 và tổ 2 làm được trong tháng thứ nhất lần lượt là x, y (sản phẩm) điều kiện: Lập luận đưa về hệ phương trình: Câu 3: Điểm A thuộc y = x2 có hoành độ x = -2 ⇒ y = (-2)2 = 4 ⇒ A(-2;4) Vì đường thẳng Vì đường thẳng (d) qua A (-2; 4) nên: -3.(-2) + b = 4 ⇒ b = -2(tm) ⇒ (d) : y = - 3x - 2 Câu 4: a. Chứng minh: và ba điểm E, I, F thẳng hàng.
15. Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) và (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm I) Suy ra tam giác MHB vuông tại H, đường cao HF Vậy (hệ thức lượng trong tam giác vuông) b. Kẻ đường kính MD của đường tròn (O), MD cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai là N . Chứng minh tứ giác BONF nội tiếp. Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm I) Suy ra (cùng phụ góc ) Mà (do tứ giác MHNF nội tiếp) Nên Mặt khác ta có: (kề bù) nên Vậy tứ giác BONF nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180°) c. MD cắt EF tại K. Chứng minh Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Chứng minh tương tự câu a, ta được tam giác AMH vuông tại H, đường cao HE. Khi đó: (câu a) nên tam giác MAB đồng dạng tam giác MFE Suy ra (hai góc tương ứng bằng nhau) Mặt khác ta có:
16. Ta có tam giác MKF đồng dạng với tam giác MBD (g.g) Suy ra (câu a) Nên Khi đó tam giác MHK đồng dạng với tam giác MDH (c.g.c) Vậy (hai góc tương ứng) d. Đường tròn (I) cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là P . Chứng minh ba đường thẳng MP, FE và BA đồng quy. Gọi Q là giao điểm của PM và AB. Xét tam giác MQO có: MH là đường cao OI là đường cao (vì OI là đường nối tâm của hai đường tròn) MH cắt OI tại I Suy ra I là trực tâm tam giác MQO Nên Mặt khác 2 điểm Q, E, F thẳng hàng Vậy ba đường thẳng MP, EF và BA đồng quy. Câu 5: Các em chứng minh bất đẳng thức:
17. (chứng minh bằng cách khai triển rồi đưa về dạng ) Áp dụng: Phòng Giáo dục và Đào tạo Đề thi Giữa học kì 2 Môn: Toán lớp 9 Thời gian làm bài: 90 phút (Đề 4) I.PHẦN TRẮC NGHIỆM (2,0 điểm) (Hãy chọn phương án đúng và viết chữ cái đứng trước phương án đó vào bài làm) Câu 1. Rút gọn biểu thức được kết quả là: A. B. C. D. Câu 2. Phương trình có nghiệm là: B. x = 1 và y = -2 C. x = 1 và y = 2 D. x = -3 và y = 8 A. Câu 3. Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ là A. (-1;8) B. (1;7) C. (-3;11) D. (5;6) Câu 4. Phương trình nào sau đây có ít nhất một nghiệm nguyên?
18. A. x2 - x + 1 = 0 B. 9x2 - 6x + 1 = 0 D. 16x2 – 1 = 0 C. Câu 5. Phương trình (m là tham số) có nghiệm khi và chỉ khi: A. m -2 C. D. Câu 6. Cho đường tròn tâm (O; R) và dây cung BC = R. Hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, C cắt nhau tại A. Khi đó bằng: A. 90º B. 120º C. 100º D. 60º Câu 7. Cho tam giác đều MNE ngoại tiếp đường tròn bán kính 1 cm. Diện tích của tam giác MNE bằng: D. 5cm2 A. C. B. Câu 8. Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm của BC. Khi đó ta có bằng: C. 1 D. 2 A. B. II.PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm) Câu 1 (1,5 điểm) a. Rút gọn biểu thức b. Cho hàm số y = -3x - m + 1, với m là tham số. Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số y = -3x - m + 1 đi qua gốc tọa độ O Câu 2 (1,75 điểm) a. Giải phương trình x2 - x - 6 = 0 b. Cho phương trình mx2 - 2(m-1)x + m = 0 (1), với m là tham số. Xác định giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
19. Câu 3 (0,75 điểm) Giải hệ phương trình Câu 4 (3,25 điểm) Cho đường tròn (O) đường kính BC. Trên đường tròn (O) lấy điểm A sao cho AB < AC. Trên OC lấy điểm M sao cho M nằm giữa O và C. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia đối của tia AB tại N, cắt AC tại F. Đường thẳng NM cắt đường tròn (O) tại F và K (F nằm giữa E và N) a. Chứng minh bốn điểm A, B, M, E cùng thuộc một đường tròn và chứng minh bốn điểm N, A, M, C cùng thuộc một đường tròn. b. Vẽ tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt MN tại H. Chứng minh tam giác là tam giác cân. c. Gọi giao điểm thứ hai của NC với đường tròn (O) là D. Chứng minh HD là tiếp tuyến của đường tròn (O). Câu 5 (0,75) Giải phương trình Đáp án và hướng dẫn giải I.PHẦN TRẮC NGHIỆM (2,0 điểm) Câu 1: Chọn B Ta có: Câu 2: Chọn B Ta có
20. Câu 3: Chọn B Thế x = - 3 vào hàm số ta được y = 11 Suy ra đồ thị hàm số y = -2x + 5 đi qua điểm (-3; 11) Câu 4: Chọn C Xét phương án C: Phương trình có một nghiệm nguyên x = 0. Câu 5: Chọn D Phương trình đã cho có nghiệm Câu 6: Chọn A Ta có: là tam giác đều
21. Câu 7: Chọn C Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp , I là tiếp điểm của (O) và EM Xét Câu 8: Chọn D Ta có II.PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)
22. Câu 1: a. Ta có: b. Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O Câu 2: a. Ta có: Vậy tập nghiệm của phương trình là: b. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi Câu 3: Điều kiện:
23. x, y là nghiệm của phương trình: X2 - 3X + 3 = 0 phương trình vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm. Câu 4: a. Chứng minh bốn điểm A, B, M, E cùng thuộc một đường tròn và chứng minh bốn điểm N, A, M, C cùng thuộc một đường tròn. Xét tứ giác ABME ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
24. Suy ra tứ giác ABME nội tiếp cùng thuộc một đường tròn. Xét tứ giác AMCN ta có: A nhìn NC với 1 góc vuông M nhìn NC với 1 góc vuông A, M là hai đỉnh liền kề Suy ra tứ giác AMCN nội tiếp cùng thuộc một đường tròn b. Vẽ tiếp tuyến tạ A của đường tròn (O) cắt MN tại H. Chứng minh tam giác là tam giác cân. Ta có tứ giác ABME nội tiếp mà (1) Xét đường tròn (O) ta có: là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung AC. là góc nội tiếp chắn cung AC (2) Từ (1) và (2) suy ra là tam giác cân tại H c. Gọi giao điểm thứ hai của NC với đường tròn (O) là D. Chứng minh HD là tiếp tuyến của đường tròn (O). ta có: là tam giác cân tại H mà
25. suy ra H là trung điểm của NE Xét vuông tại D có DH là trung tuyến Xét 2 tam giác ta có: OH là cạnh chung AH = DH (cmt) OA = OD Suy ra HD là tiếp tuyến của đường tròn (O) Câu 5: Phương trình đã cho tương đương Điều kiện:
26. Tập nghiệm của phương trình là: