Đề thi học kì 2 Toán Lớp 9 - Đề 4 (Có đáp án và hướng dẫn giải)

Nội dung text: Đề thi học kì 2 Toán Lớp 9 - Đề 4 (Có đáp án và hướng dẫn giải)

1. Đề thi học kì 2 môn Toán lớp 9 Thời gian: 60 phút Bài 1: (1,5 điểm) Giải phương trình và hệ phương trình a) 2x2 - 3x + 1 = 0 b) x3 - 3x2 + 2 = 0 Bài 2: (1,5 điểm) a) Vẽ đồ thị (P) hàm số y = x2 b) Tìm m để đường thẳng (d) : y = 2x + m tiếp xúc với (P). Bài 3: (1,5 điểm) Cho phương trình (ấn số x): x2 – 4x + m – 2 = 0 (1) a) Giá trị nào của m thì phương trình (1) có nghiệm b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn 3x1 – x2 = 8 Bài 4: (1 điểm) Một ô tô đi từ A đến B với một vận tốc xác định. Nếu vận tốc tăng thêm 30 km/h thì thời gian đi sẽ giảm 1 giờ. Nếu vận tốc giảm bớt 15 km/h thì thời gian đi tăng thêm 1 giờ. Tính vận tốc và thời gian đi từ A đến B của ô tô. Bài 5: (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC). Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB và AC lần lượt tại E và D. Gọi H là giao điểm của BD và CE; AH cắt BC tại I. a) Chứng minh AI vuông góc với BC và EC là phân giác của góc IED. b) Chứng minh BE.BA = BI.BC c) Chứng minh tứ giác OIED nội tiếp. d) Cho biết BC = 16cm. Tính BE.BA + CD.CA
2. Đáp án và Hướng dẫn giải Bài 1: a) 2x2 - 3x + 1 = 0 a = 2; b = - 3; c = 1 ⇒ a + b + c = 0 Do đó phương trình có nghiệm x1 = 1; x2 = 1/2 b) x3 - 3x2 + 2 = 0 ⇔ x3 - x2 - 2x2 + 2 = 0 ⇔ x2 (x - 1) - 2(x2 - 1) = 0 ⇔ (x - 1)[x2 - 2(x + 1)] = 0 ⇔ (x - 1)(x2 - 2x - 2) = 0 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {1; (1 ± √3)/2} Khi đó hệ phương trình trở thành:
3. Bài 2: a) Tập xác định của hàm số: R Bảng giá trị x - 2 - 1 0 1 2
4. y = x2 4 1 0 1 2 Đồ thị hàm số y = x2 là đường parabol nằm phía trên trục hoành, nhận trục Oy làm trục đối xứng và điểm O(0;0) là đỉnh và là điểm thấp nhất. b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là x 2 = 2x + m ⇔ x2 - 2x - m = 0 Δ' = 1-(-m) = 1 + m (d) tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d có một nghiệm duy nhất ⇔ Δ' = 0 ⇔ 1 + m = 0 ⇔ m = -1 Vậy với m = -1 thì d tiếp xúc với (P) Bài 3: a) Δ' = 22 - (m - 2) = 6 - m Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi Δ' ≥ 0
5. ⇔ 6 - m ≥ 0 ⇔ m ≤ 6 Vậy với m ≤ 6 thì phương trình đã cho có nghiệm b) Theo hệ thức Vi-et ta có: Theo bài ra: 3x1 - x2 = 8 ⇔ 3x1 - x2 = 2(x1 + x2) ⇔ x1 = 3x2 Khi đó: x1 + x2 = 4 ⇔ 3x2 + x2 = 4 ⇔ 4x2 = 4 ⇔ x2 = 1 ⇒ x1 = 3 ⇒ x1 x2 = 3 ⇒ m - 2 = 3 ⇔ m = 5 Vậy với m = 5 thì phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài. Bài 4: Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h) (x > 15) Thời gian dự định đi của ô tô là y (h) (y > 1) ⇒ Quãng đường AB là xy (km) Nếu vận tốc tăng 30 km/h thì thời gian giảm đi 1h nên ta có phương trình: (x + 30)(y - 1) = xy ⇔ -x + 30y = 30 (1) Nếu vận tốc giảm 15 km/h thì thời gian tăng 1h nên ta có phương trình (x - 15)(y + 1) = xy ⇔ x - 15y = 15 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
6. Vậy vận tốc đi từ A đến B là 60 km/h Thời gian đi từ A đến B là 3h. Bài 5: a) Chứng minh AI BC Ta có ∠BEC = BDC = 90o (hai góc nội tiếp chắn nửa đườn tròn)
7. d) Tính BE.BA + CD.CA Chứng minh tương tự câu b, CD.CA = CI.CB Từ đó BE.BA + CD.CA = BI.BC + CI.CB = (BI + CI).BC = BC.BC = BC2 = 162 = 256