10 Đề kiểm tra học kì 1 Toán Lớp 9 (Có đáp án)

Nội dung text: 10 Đề kiểm tra học kì 1 Toán Lớp 9 (Có đáp án)

1. Toán lớp 9 ĐỀ 01 ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I LỚP 9 Thời gian: 90 phút Bài 1. (2,0 điểm) Hãy tính giá trị của: a) M 2300 3 48 4 75: 3 ; b) M (32) 2 423 ; 2 1 12 c) P ; 31 32 33 Bài 2. (2,0 điểm) x x 3 x 2 x 2 Cho các biểu thức A 1 và B 1 x x 23 xxx 56 với x 0, x 4, x 9. a) Hãy tính giá trị của A khi x= 16. b) Rút gọn B. A c) Xét biểu thức T . Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của T. B Bài 3. (2,0điểm) Cho hàm số y (2 mxm ) 1( với m là tham số và m 2) có đồ thị là đường thẳng d. a) Khi m= 0, hãy vẽ d trên hệ trục tọa độ Oxy. b) Tìm m để d cắt đường thẳng y 2 x 5 tại điểm có hoành độ bằng 2. c) Tìm m để d cùng với các trục tọa độ Ox, Oy tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Bài 4. (3,5điểm) Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với (O) (B, C là các tiếp điểm ). Gọi H là giao điểm của OA và BC. a) Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh OA là đường trung trực của BC. c) Lấy D đối xứng với B qua O. Gọi E là giao điểm của đoạn thẳng AD với (O) (E DE BD không trùng với D). Chứng minh . BE BA 1
2. Toán lớp 9 d) Tính số đo góc HEC. Bài 5.(0,5điểm) Cho x> 0, y> 0 thỏa mãn xy= 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 23 6 thức: Q xy3 x 2 y ĐÁP ÁN: Nội Dung Điểm 1 a) M 2.10 3 3.4 3 4.5 3 : 3 0,5 Tính được M 12 3 : 3 12 0,25 2 2 0,25 b) Ta có N 3 2 3 1 0,25 N 3 2 3 1 2 3 3 1 N 1 0,25 2 3 1 3 2 12 3 3 c) P 0,25 3 1 3 4 3 9 Tính được P 3 1 3 2 6 2 3 7 0,25 2 a) Thay x 16 (thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức A 0.25 16 Ta có A 1 0,25 1 16 1 Tính được A 0,25 5 xx 3 3 xx 2 2 x 2 0,25 b) B x 2 x 3 x 3 Biến đổi được B 0,25 x 2 x 3 1 Rút gọn B 0,25 x 2 2
3. Toán lớp 9 x 2 3 0,25 c) Biến đổi được: T 1 x 1 x 1 Với mọi x 0, x 4, x 9 , thì T 2 0,25 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 0 . Từ đó kết luận Pmin 2 3 a) Với m=0 thì d có dạng y 2 x 1 0,25 1 Ta có d đi qua hai điểm A(0;1) và B ;0 0,25 2 Học sinh vẽ đúng d trên hệ trục Oxy. 0,25 b) Thay x 2 vào y 2 x 5 tìm được y 1 0,25 Thay x 2 và y 1 vào d tìm được m 6 0,25 Thử lại thấy thỏa mãn hai đường thẳng cắt nhau không phải là trùng nhau (nếu học sinh không thử lại trừ 0,25) 0,25 m 1 c) Vì m 2 nên d cắt Ox, Oy lần lượt là A ;0 và 0,25 m 2 B 0;m 1 1m 1 2 Ta có S AOB m 1 2 m 1 4 m 2 2m 2 0,25 Trường hợp 1: Với m 2 2 m 1 4 m 2 mm2 2 9 0 (vô nghiệm) Trường hợp 2: m 2 2 m 1 4 mmm 2 2 6 7 0 m 1 hoặc m 7 3
4. Toán lớp 9 4 0,25 a) Gọi I là trung điểm của OA. Vì AB là tiếp tuyến của (O) 0,25 0 OA AB OB ABO 90 AB , I ; 2 Vì AC là tiếp tuyến của (O) 0,25 0 OA AC OC ACO 90 AC , I ; 2 OA Từ đó bốn điểm ABOC,,, cùng thuộc một đường tròn I; 0,25 2 b) Vì AC, AB là tiếp tuyến của (O) nên AB AC (Theo tính 0,25 chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Mặt khác OB OC (cùng là bán kính của (O)). 0,25 Từ đó OA là trung trực của BC. c) Vì D là đối xứng của B qua O nên BD là đường kính của (O) 0,25 BE D 900 Xét hai tam giác BED và tam giác ABD có: 0,25 B D A chung 0 BE D AB D 90 do đó BED∽ A B D g . g DE BD 0,25 Từ đó (ĐPCM) BE BA 4
5. Toán lớp 9 d) Ta có 0,25 0,25 HO BO BHO ABO 900 BHO∽ ABO (g.g) HB BA Chú ý: BD 2 BO , DC 2 HO và kết quả c, ta có: DE BD 2 BO DC BE BA BA HB Gọi F là giao điểm của DE và BC ta có: C DE 900 CF D 90 0 EFBHBE Vậy CDE∽ HBE (c.g.c) CE D HEB , từ đó: HEC HE D CE D HE D HEB 900 5 3x 2 y 6 0,25 Ta có Q vì xy 6 6 3x 2 y Đặt txyt 3 2 2 3 xy .2 12 Theo bất đẳng thức AM-GM và vì t 12 nên ta có: t24 18 t 24 18 5 Q 2 . 6tt 6 t 12 2 5 x 2 Từ đó Qmin . 2 y 3 5
6. Toán lớp 9 ĐỀ 02 ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I LỚP 9 Thời gian: 90 phút Bài 1. (2 điểm) 2 2 a) Rút gọn biểu thức: A 3 2 12 3 b) Tính giá trị biểu thức: B cos2 52 sin 45 sin 2 52 cos45 Bài 2. (2 điểm) 2 a) Cho biểu thức M xx 0, 4 . Tìm x để M = 2. x 2 2 x 1 b) Rút gọn biểu thức P : xx 0, 4 x 2 x 4 x 2 c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P. Bài 3. (2 điểm) Cho hàm số bậc nhất y 2 m 1 x 3có đồ thị là đường thẳng (d) 3 a) Vẽ đồ thị hàm số khi m 2 b) Tìm m để đường thẳng (d) và hai đường thẳng yx 3, y 2 x 1 đồng quy? c) Gọi hai điểm A và B là giao điểm của (d) với lần lượt trục Ox, Oy. Tìm m để diện tích tam giác OAB bằng 3(đvdt)? Bài 4. (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn O, R đường kính AB, vẽ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Trên tia Ax lấy điểm E (E khác A, AE < R), trên nửa đường tròn lấy điểm M sao cho EM = EA, đường thẳng EM cắt tia By tại F. a) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến của đường tròn (O) b) Chứng minh tam giác EOF là tam giác vuông c) Chứng minh AM.OE + BM.OF = AB.EF 6
7. Toán lớp 9 b) Tam giác BCD có O là trung điểm của BD và 1 OB OC OD . Từ đó suy ra, tam giác BCD vuông tại C hay CD BC . CD  AO(vì cùng vuông góc với BC) c) Gọi H BC  AO . Khi đó H là trung điểm BC . 1 Trong tam giác vuông OBA có OB2 OHOA. OB2 9 OH OA 5 12 Theo định lý Py-ta-go, BH OB2 OH 2 . Suy ra, 5 24 BC 2 BH . 5 Trong tam giác BCD có OH là đường trung bình, suy ra 18 CD 2OH 5 Vậy . d) Từ phần b) ta có E D O C D O AOB . Từ đó 0,5 ABO EOD . Suy ra ABOE là hình chữ nhật. Suy ra, OE AF . Do AC OF , suy ra G là trực tâm của tam giác AOF , do đó FG OA . OAF 900 OAB 90 0 OE D OE D . Do các tam giác OBC, OC D cân, nên OE D OC D 900 OCB COA FO A FA O và do tam giác FA B cân tại F . Vậy FG là trung trực của AO . 4 a) Điều kiện: 3x 6 1 Theo bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có: 3 3 x 6 x 3 2 . Dấu “=” xảy ra khi x 2 Mặt khác 4x2 12 x 27 (2x3) 2 18 32 . 3 Dấu “=” xảy ra khi x 2 23
8. Toán lớp 9 3 Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 2 b) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có: 1 2 xyz2 2 2 x y z xyz xyyzzx 2 xyz 2 Theo bất đẳng thức AM-GM ta có xy yz zx xy,, yz zx 2 2 2 1 1 Vậy P . Đẳng thức xảy ra khi x y z 2 3 1 Min P= 2 24
9. Toán lớp 9 ĐỀ 06 ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I LỚP 9 Thời gian: 90 phút Bài 1. (2 điểm). 1 Thực hiện phép tính: 38 185 5032 a) 2 b) Giải phương trình: 4xx2 4 1 5 x 2 Bài 2. (2.5 điểm). 2x 4 x3 6 x 4 Cho các biểu thức A và B với x 0, x 1. x 1 x 1 x 1 x 1 a) Tính giá trị của A khi x 4. b) Rút gọn B. c) So sánh A.B với 2. Bài 3. (1.5 điểm) Cho hàm số y 3 x 2 có đồ thị là đường thẳng (d1). 1 a) Điểm A ;3 có thuộc đường thẳng (d1) không? Vì sao? 3 b) Tìm giá trị của m để đường thẳng (d1) và đường thẳng (d2) có phương trình y 2 xm cắt nhau tại điểm có hoành độ bằng 1. Bài 4. (3,5 điểm) Cho đường tròn O, R đường kính AB và điểm C bất kỳ thuộc đường tròn (C khác A và B). Kẻ tiếp tuyến tại A của đường tròn, tiếp tuyến này cắt tia BC ở D. Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại C cắt AD ở E. a) Chứng minh bốn điểm A, E, C, O cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh BC.BD = 4R2 và OE //BD. c) Đường thẳng kẻ qua O và vuông góc với BC tại N cắt tia EC ở F. Chứng minh BF là tiếp tuyến của đường tròn (O; R). d) Gọi H là hình chiếu của C trên AB, M là giao của AC và OE. Chứng minh rằng khi C di động trên đường tròn (O; R) và thỏa mãn yêu cầu đề bài thì đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN luôn đi qua một điểm cố định Bài 5. (0,5 điểm) 25
10. Toán lớp 9 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x 2010 với x 2 x 2 ĐÁP ÁN: Nội dung Điểm 1 5 2 1 a) 6 2 3 2 5 2 .3 2 63 2 b) Giải phương trình: 1 2 4xx2 4 1 5 x 2. Điều kiện x 5 4xx2 4 1 25 x 2 20 x 4 x 1 3 7x 1 x 1 0 1 . Kết hợp điều kiện, vậy x 7 1 phương trình có nghiệm duy nhất x . 7 2 2 4 4 0,5 a) Với x 4 A 0 4 1 b) Rút gọn B 1 2 x3 6 xxx 4 2 1 x 1 B x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 B x 1 c) Ta có: 1 2x 4 x 1 2 x 4 AB x 1 x 1 x 1 6 2 2 với mọi x 0, x 1. x 1 Vậy AB. 2. 26
11. Toán lớp 9 3 1 0,5 a) A ;3 d1 khi tọa độ của điểm A thỏa mãn phương 3 trình y 3 x 2 . Ta có: 1 1 3 3. 2 (luôn đúng). Vậy A ;3 d1 3 3 1 b) Với x 1 y 5. Suy ra, d1 d 2 M 1;5 Md 1;5 2 5 2.1 mm 7 . Vậy phương trình: dy2 : 2 x 7 4 0,25 a) Gọi J là trung điểm của OE 0,75 OE OAE vuông tại A OAE nội tiếp đường tròn J; 2 OE OCE vuông tại C OCE nội tiếp đường tròn J; 2 OE Vậy O,,, AEC cùng thuộc đường tròn J; . 2 b) ABD vuông tại A, có chiều cao AC . Áp dụng hệ thức 1 lượng trong tam giác vuông có: BC.D B AB2 4R 2 Ta có AE EC và OA OC do đó OE là trung trực của AC , OE⊥ AC. Lại có AC⊥ BC, vậy BD song song với OE . 27
12. Toán lớp 9 c) Đường thẳng ON là trung trực của BC. Suy ra, 1 o FC FB FBO FCO( c . c . c ) FBO  90 FB OB FB là tiếp tuyến của đường tròn (O) d) Xét tam giác HOC vuông tại H H, O, C thuộc đường tròn 0,5 đường kính là OC. Suy ra các điểm M, C, N, O, H cùng thuộc đường tròn đường kính OC. Xét tứ giác ONCM có: OMC MCN CNO 900 ONCM là hình chữ nhật, do đó tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật là trung điểm của OC . Vậy khi C di động trên đường tròn (O), thì đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN luôn đi qua điểm cố định là O . Vậy khi C di động trên đường tròn (O), thì đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN luôn đi qua điểm cố định là O . 5 Theo bất đẳng AM-GM ta có: 9 9 x 2 2 x 2 . 6 . Dấu “=” xảy ra khi x 5 x 2 x 2 P 2012 6 . Vậy Pmin 2018 khi x 5 28
13. Toán lớp 9 ĐỀ 07 ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I LỚP 9 Thời gian: 90 phút Bài 1. (1,5 điểm). Rút gọn các biểu thức sau: a) 27. 3 72: 2 1 1 b) 186 200 2 2 4 c) 2( 3 1)2 3 1 Bài 2. (2 điểm). 1x 1 Cho các biểu thức: B : với x 0, x 1. x 1x 1 x 1 a) Rút gọn B; 3 b) Tìm x để B ; 2 c) Tìm các giá trị nguyên của x để B là số nguyên. Bài 3. (2 điểm) Cho hàm số: y ( m 2) xm (m 2) có đồ thị là đường thẳng (d). a) Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) đi qua điểm A(0; 5); b) Vẽ đồ thị hàm số đã cho với m = 3; c) Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng: y 2 x 3. Bài 4. (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R), đường kính AB, dây cung BC = R. a) Giải tam giác ABC. b) Đường thẳng qua O vuông góc với AC cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) ở D. Chứng minh OD là đường trung trực của đoạn AC. c) Chứng minh DC là tiếp tuyến của (O). d) Đường thẳng OD cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp ADC . Bài 5. (0,5 điểm) Tìm x, y >0 sao cho: 29
14. Toán lớp 9 23 2 3 11 xy yx 2 x 2 y 4 4 22 ĐÁP ÁN: Nội dung Điểm 1 a) 27. 3 72 : 2 9 6 3 0,5 b) 3 2 3 2 5 2 5 2 0,5 c) 2312312322324 0,5 2 a) Rút gọn B 0,75 xx 1 1 2 x 1 B : x 1 x 1 x 1 x 1 3 2x 1 3 0,75 b) Với B x 1(Không thoả mãn 2x 1 2 ĐK). 3 Vậy không có giá trị nào của x để B . 2 1 0,5 c) B 2 . B là số nguyên thì: x 1 1 chia hết cho x 1. Mà x 1 1 với x 0 . Vậy x 0 thì 1 chia hết cho x 1. Khi đó B 1. 3 a) Ta có A(0;5) dm 5. Suy ra, phương trình của 0,5 dy: 3 x 5 b) Với m 3 . Suy ra, phương trình của dy: x 3 0,75 Đường thẳng d giao với hai trục tọa độ Ox, Oy tại hai điểm A(0;3), B ( 3;0) . Học sinh tự vẽ hình c) Đường thẳng d song song với đường thẳng 0,75 y 2 x 3 m 2 2 m 4 . Suy ra, phương trình của 30
15. Toán lớp 9 dy: 2 x 4 4 0,5 a) ABC vuông tại C (AB là đường kính) 1 Ta có: AC AB2 BC 2 (2R) 2 R 2 3R ABC vuông có AB 2R,BC R BAC 300 và ABC 600 . b) Ta có OH AC HA HC (định lí đường kính dây 0,5 cung) Chứng tỏ OD là đường trung trực của đoạn AC. c) Ta có AOC cân tại O (OA OC R) 1 có đường cao OH nên OH đồng thời là đường phân giác của AOC hay AOH COH . Do đó DCO DAO(c.g.c) DCO DAO 900 Chứng tỏ DC là tiếp tuyến của (O). d) Ta có DI là phân giác của ADC. 0,5 Lại có: DCI ICO 900 (tính chất tiếp tuyến) ICH CIO 900 (CHI 900 ) Mà ICO CIO (tam giác COI cân) DCI ICH. Chứng tỏ CI là tia phân giác của DCA . Vậy I là tâm đường tròn nội tiếp ADC . 5 Ta có bất đẳng thức AM-GM 31
16. Toán lớp 9 1 x2 x 4 1 y2 y 4 23 2 3 1 1 xy yx xy xy 4 4 2 2 2 1 1 1 2x 2 y xy 2 2 2 1 1 4xyxy x2 y 2 xy 2 xy 4 4 2 0 x y . 1 1 Vậy phương trình có nghiệm khi x; y bằng ; 2 2 32
17. Toán lớp 9 ĐỀ 08 ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I LỚP 9 Thời gian: 90 phút Bài 1. (1,5 điểm). Rút gọn các biểu thức sau: a) A 248 427 75 12 1 36 b) B 3 2 3 3 21 2 x x 1 x 4 3 x Bài 2. (2 điểm). Cho các biểu thức: A và B ; x 2 x 2 x 4 x 2 với x 0, x 4 a) Tính giá trị của B khi x= 9; b) Rút gọn biểu thức S AB:( 1) c) Tìm giá trị nhỏ nhất của S. 1 Bài 3. (2 điểm) Cho hai hàm số: y 2 x 3 và y x 2 2 a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một mặt phẳng tọa độ. b) Tìm tọa độ giao điểm A của hai đồ thị trên. c) Tính diện tích tam giác ABC biết B,C lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng trên với trục tung. Bài 4. (3,5 điểm) Cho đường tròn O, R đường kính AD. Điểm H thuộc đoạn OD. Kẻ dây BC vuông góc với AD tại H. Lấy điểm M thuộc cung nhỏ AC, kẻ CK vuông góc với AM tại K. Đường thẳng BM cắt CK tại N. a) Chứng minh AH.AD=AB2; b) Chứng minh tam giác ACN cân tại A; c) Tìm vị trí của M để diện tích tam giác ABN lớn nhất. Bài 5. (0,5 điểm) Cho xx 2 1 yy 2 1 1. Tính giá trị của (x+y). ĐÁP ÁN: 33
18. Toán lớp 9 Nội dung Điểm 1 a) Ta có: 0,75 A 2 48 4 27 75 12 8 3 12 3 5 3 2 3 27 3 3 1 2 0,75 b) B 3 2 3 2 3 1 2 2 3 2 3 2 3 1 2 3 9 0,5 a) Với x 9 B 0 9 2 b) Rút gọn A 0,75 xx 2 x 1 x 2 x 4 A x 4 x 4 x 4 2x 2 x 4 3 x 1 B 1 1 x 2 x 2 Khi đó A2 x 22 x 2 6 6 S 2 B 1 x 2 x 2 x 2 x 2 c) Ta có: 0,75 6 6 S 2 2 1 x 2 2 Vậy Min S 1 khi x 0 3 a) Đường thẳng y 2x 3 giao điểm hai trục tọa độ tại 0,75 3 hai điểm 0;3 , ;0 . 2 34
19. Toán lớp 9 1 Đường thẳng y x 2 giao điểm hai trục tọa độ tại hai 2 điểm 0; 2 , 4;0 . Học sinh tự vẽ hình. b) A là giao điểm của hai đường thẳng y 2x 3 và 0,75 1 y x 2 . Suy ra, 2 1 2x 3 xx 2 2 y 1. 2 Vậy A( 2; 1) . c) Ta có tọa độ các điểm : 0,5 A( 2; 1) , B(0;3) và C(0; 2) . BC OB OC 5 Khoảng cách từ A đến trục tung bằng: 2. Khi đó, 1 1 S ABC d( ABC , ). BC 2.5 5 (đ.v.d.t) 2 2 4 0,5 a) Xét tam giác ABD . Có ABD 900 (nội tiếp đường 1 AD tròn O; ). Chiều cao BH , áp dụng hệ thức 2 35
20. Toán lớp 9 lượng trong tam giác vuông ta có: AH. A D AB2 b) Chứng minh MK là trung trực của NC . 1 Ta có: NMK AMB (hai góc đối đỉnh) (1) AMB ACB (cùng chắn cung AB) ACB ABC (tam giác ABC cân tại A) Tứ giác ABCM nội tiếp đường tròn (O) ABC KMC AMB ACB KMC (2) . Từ (1) và (2) suy ra KMC NMK . Mà MK là đường cao của tam giác MNC . Vậy MK là trung trực của NC AK là trung trực của NC Tam giác ANC cân. AN AC 1 c) Xét tam giác ABN có: AN AB . AC AB Khi đó tam giác ABN cân tại A . Gọi J là trung điểm BN . 1 Khi đó S ABN BNAJ BJAJ . Áp dụng bất đẳng thức 2 BJ2 AJ 2 AB 2 Cauchy: BJ. AJ . Dấu “=” xảy ra khi 2 2 AJ BJ ABN vuông cân tại A. 2 0 AB Khi đó AM 90 S ABN . 2 5 2 0,5 Ta có x 1 x 0 với x Nhân cả hai vế với x2 1 x ta suy ra được: x2 1 xy 2 1 yxyy 2 1 x 2 1 0 1 x y 1 0. Ta có 2 2 x 1 y 1 1 1 0 . Suy ra, x y 0 x2 1 y 2 1 Vậy x y 0 36
21. Toán lớp 9 ĐỀ 09 ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I LỚP 9 Thời gian: 90 phút Bài 1. (1,5 điểm). Thực hiện phép tính: a) 250 332 162 5 98 b) 827 1147 10 8 1835 c) 535 25 Bài 2. (2 điểm). Cho các biểu thức: x x 10 1 1 A : và B x 1 với x 0, x 9 x 9 3 x x 3 d) Tính giá trị của B khi x= 16; e) Rút gọn biểu thức A f) Tìm giá trị của x để A >B. Bài 3. (2 điểm) Cho các hàm số (d1): y ( m 1) x 2 và (d2): y 2 x 1 a) Vẽ đồ thị hàm số (d2) b) Tìm m để đồ thị hàm số (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm có hoành độ và tung độ trái dấu. Bài 4. (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và một điểm M trên đường tròn (M khác A và B). Trên nửa mặt phẳng chứa điểm M, bờ là đường thẳng AB, vẽ tiếp tuyến tại A và B của (O) cắt tiếp tuyến tại M theo thứ tự ở C và D. a) Chứng tỏ ACDB là hình thang vuông. b) Chứng tỏ AM OD. c) AM cắt OC tại E và BM cắt OD tại F. Chứng tỏ OE.OC OF.OD . d) Biết MAB 600 . Tính theo R diện tích tứ giác OMDB. Bài 5. (0,5 điểm) Cho x, y là hai số thỏa mãn 6x+ 12y = 5. 2 2 Chứng minh rằng: 4x 9 y 1 37
22. Toán lớp 9 ĐÁP ÁN Nội dung Điểm 1 a) Ta có 0,5 10 2 12 2 9 2 35 2 24 2 b) Ta có 0,5 2 2 7 1 7 2 7 1 7 2 7 1 7 2 2 7 1 c) Ta có 0,5 3 2 5 2 5 2 3 5 =2 5 6 2 5 3 3 2 5 2 a) Với x 16 B 16 1 5 0,5 b) Rút gọn A 0,75 xx 10 x 3 A x 3 x 9 x 9 x 7 x 7 . x 3 x 3 x 3 x 3 x 7 0,75 c) Với AB x 1 x 3 x 1. Kết hợp điều kiện đầu bài. Vậy 0 x 1, x 9 3 a) d2 giao với hai trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại hai điểm 1 1 A(0;1), B ;0 . 2 Học sinh tự vẽ hình b) Phương trình hoành độ giao điểm d1 và d2 : 1 1 2x 1 mx 1 2 x (với m 1). 1 m 38
23. Toán lớp 9 3 m y . Do giao điểm của hai đường thẳng có tung độ 1 m và hoành độ trái dấu. Suy ra 1 3 m 3 m xy . 0 m 3 . 1 m 1 m 1 m 2 Vậy m 3 4 a) Ta có AC AB,BD  AB (tính chất tiếp tuyến) 1 AC BD. Do đó ACDB là hình thang vuông. b) Ta có AMB 900 (AB là đường kính) hay AM BM (1) 1 Lại có MD BD,OB OM( R) Nên OD là đường trung trực của MB. OD  MB (2) Từ (1), (2) AM OD. c) Ta có CA CM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) 1 OA OM( R) Nên CO là đường trung trực của AM hay CO AM . Ta có CMO vuông tại M có ME là đường cao. OE.OC OM2 (hệ thức lượng) Tương tự: OF.OD OM2 Do đó OE.OC OF.OD 39
24. Toán lớp 9 d) AMB vuông (AB là đường kính) có AB 2R,MAB 600 0,5 (gt) MBA 300 AM R. Ta có: MB AB2 AM 2 (2R) 2 R 2 3R (định lí Py-ta-go) R 3 MF . 2 2 R3 R Do đó 2 2 2 OF MO MF R 2 2 Xét tam giác vuông OMD có: OM2 R 2 OM2 OD.OF OD 2R OF R 2 1 1 Vậy S MB.OD R 3.2R R2 3 OMDB 2 2 5 Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopsky ta có 2 4xy2 9 2 916 2.33.4 xy 2 6x 12 y 25 4x2 9 y 2 1 (ĐPCM) 25 25 3 4 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (,),x y . 10 15 40
25. Toán lớp 9 ĐỀ 10 ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I LỚP 9 Thời gian: 90 phút Bài 1. (1,5 điểm). Rút gọn các biểu thức sau: 3 1 a) A 12 75 2300 108 2 3 b) B 5 27 26 x 12 1 4 Bài 2. (2 điểm). Cho biểu thức: M với x 0, x 4 x 4 x 2 x 2 a) Rút gọn M; b) Tính giá trị của M khi x=25; 1 c) Tìm x Z để có giá trị nguyên. M Bài 3. (2 điểm) Cho hàm số: ym ( 1) x 2 m 1 có đồ thị là đường thẳng (d). a) Vẽ đồ thị hàm số trên với m= 2 b) Tìm m để khoảng cách từ O đến đồ thị hàm số trên là lớn nhất. Bài 4. (3,5 điểm) Cho nửa đường tròn O, R đường kính AB. Vẽ dây AD= R, dây BC= 2R . Kẻ AM và BN vuông góc với đường thẳng CD lần lượt tại M và N. a) So sánh độ dài các đoạn MD và NC; b) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông cân; c) Tính độ dài đoạn MN theo R d) Chứng minh SAMNB S ADB S ACB Bài 5. (0,5 điểm) Cho các số thực a, b, c thay đổi luôn thỏa mãn: a 1,b 1,c 1 và ab bc ca 9. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức Pa 2 b 2 c 2 . ĐÁP ÁN Nội dung Điểm 1 a) Ta có 0,75 41
26. Toán lớp 9 3 A .2 3 5 3 20 3 2 3 10 3 2 b) Ta có 7 2 6 6 1 0,75 B 5 2 7 2 6 5 2 6 1 7 2 6 6 1 2 a) Rút gọn M 0,75 x 12 1 4 M x 4 x 2 x 2 xx 3 2 x 2 x 1 x 1 = x 4 x 2 x 2 x 2 25 1 4 0,5 b) Với x 25 M 25 2 7 1x 2 0,75 c) Ta có: . Điều kiện x 0, x 1 M x 1 x 2 3 1 . x 1 x 1 x 0;4;16 . 3 a) Với m 2 suy ra d có phương trình: y x 5. 1 Đường thẳng d giao các trục tọa độ Ox, Oy tại các điểm A(0;5), B ( 5;0). Học sinh tự vẽ hình. b) Đường thẳng d luôn đi qua điểm cố định M ( 2;3) . 3 1 Phương trình OM: y x 2 Gọi H là hình chiếu của O trên đường thẳng d. Khi đó OH OM . Vậy OH lớn nhất khi H M 3 5 Khi đó, OM ⊥ d . m 1 1 m 2 3 42
27. Toán lớp 9 Theo định lý Py-ta-go: OM 22 3 2 13. 5 Vậy khoảng cách từ O đến đường thẳng d lớn nhất bằng 13 khi m 3 . 4 0,25 a) Tam giác OAD là tam giác đều. Suy ra góc DAO BCN 600 . 0,75 R CN BCcos. 600 2 Tính góc CBA 450 (Do tam giác OBC vuông cân) R M D A CBA 450 . Mà AD R M D 2 Vậy MD CN AB 1 b) Xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn O; . Suy ra, 2 ACB 900 mà ABC 450 . Vậy tam giác ABC vuông cân. c) Xét tam giác OD C cân tại O và DOC 300 . Suy ra, 1 Sin300 Sin 75 0 R 6 2 DC . DC R 2 43
28. Toán lớp 9 6 2 MN MD DC CN R 2 d) Ta có 0,5 2 1 10 1 3R 3 S DAB DADB. DAAB . .Sin60 R .2R. 2 2 2 2 2 1 1AB 122R R 2 S CAB CABCB.C . . R 2 22 2 2 2 2 2 3 S ADB S CAB R 2 R R 3 6 2 .R AM BN . MN 2 2 2 2 2 3 S AMNB R 2 2 2 Vậy SSSAMNB DAB CAB 5 Ta có : 0,5 a2 b 2 2a b 2 2 b c 2 bc 2 2 c a 2 ca a2 b 2 c 2 ab bc ca 9 . Vậy Min P 9 khi a b c 3 2 2 P abc 2 abbcca abc 18 Ta có a 1, b 1, c 1. Suy ra a 1 b 1 0 ab 1 a b Tương tự bc 1 bc và ca 1 c a ab bc ca 3 a b c 2 6 a b c Khi đó P 18 . Dấu “=” xảy ra khi abc, , 1,1,4 ; 1,4,1 ; 4,1,1 . 44
29. Toán lớp 9 45