Đề thi giữa học kì 2 môn Toán học Lớp 9 - Năm học 2021-2022 - Trường THCS Thanh Quan (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi giữa học kì 2 môn Toán học Lớp 9 - Năm học 2021-2022 - Trường THCS Thanh Quan (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THCS THANH QUAN ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ 2 MÔN: TOÁN 9 NĂM HỌC: 2021-2022 Thời gian: 60 phút ĐỀ 1 xx1xx1−+2x2x1( −+) Câu 1: Cho biểu thức: A = − : . xxxx−+ x1− a) Rút gọn A. b) Tìm x để A < 0. Câu 2: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trình trong 4 ngày thì xong công việc. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 9 ngày rồi người thứ hai đến cùng làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong công việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong việc? mx y+= 5 Câu 3: Cho hệ phương trình: (I) 2x y− 2 = − a) Giải hệ (I) với m = 5. b) Xác định giá trị của m để hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất và thỏa mãn: 2x + 3y = 12 Câu 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn (M khác A và B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F; tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K. 1. Chứng minh rằng: AEMB là tứ giác nội tiếp và AI2 = IM.MB 2. Chứng minh BAF là tam giác cân 3. Chứng minh rằng tứ giác AKFH là hình thoi. Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Pa2ab3b2a1=−+−+ ĐÁP ÁN Câu 1 x x−+ 1 x x 1 2( x−+ 2 x 1) A:=− a) xxxx−+ x1− (1)1x xxx−++− (1)1 xx( ) ( ) x +1 A=−=22 2121x xx−− x x −1 ( ) ( ) b) Trang | 1
2. x 0 x 0 Ax 001 x +1 0 x − 10 x −1 Câu 2 Gọi x (ngày) là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc. y (ngày) là thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc. (ĐK: x, y > 4) 1 1 Trong một ngày người thứ nhất làm được (công việc), người thứ hai làm được (công việc) x y 1 Trong một ngày cả hai người làm được (công việc) 4 1 1 1 Ta có phương trình: += (1) xy4 9 Trong 9 ngày người thứ nhất làm được (công việc) x 91 Theo đề ta có phương trình: +=1 (2) x 4 111 += xy4 Từ (1) và (2) ta có hệ: (*) 91 +=1 x 4 x =12 Giải được hệ (*) và tìm được ()tmdk y = 6 Vậy người thứ nhất làm một mình trong 12 ngày thì xong công việc. Người thứ hai làm một mình trong 6 ngày thì xong công việc. Câu 3 mx+= y 5mx + 2x = 3(m + 2)x = 3 (1) Ta có: 222222x− yx = −− yx = y −− = − Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất PT (1) có nghiệm duy nhất m + 2 ≠ 0 m ≠ - 2 3 3 x = x = m + 2 Khi đó hpt (I) m + 2 10+ 2m 22xy−= − y = 2 + m Thay vào hệ thức ta được: 6m = 12 m = 2 Câu 4 Trang | 2
3. 1. Tứ giác AEMB nội tiếp vì 2 góc: AEBAMB=90 = 0 Ax là tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) ⊥A x A B AMB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn =A M B 9 0 0 ABI là vuông tại A có đường cao AM =A I I2 M . I B 2, IAFlà góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn AE F A M là góc nội tiếp chắn EM Ta có: AF là tia phân giác của IAMIAFFAMAEEM = = Lại có: AB Hvà HBIlà hai góc nội tiếp lần lượt chắn cung và => A B H H= B I BE là đường phân giác của B AF A E B là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn = ⊥AEB90BEAF0 BE là đường cao của B A F BAFlà cân tại B (BE vừa là đường cao vừa là đường phân giác) 3, B A Fcân tại B, BE là đường cao BE là đường trung trực của AF H,KBEAKKF;AHHF == (1) AF là tia phân giác của I A M và BEAF⊥ AHK có AE vừa là đường cao, vừa là đường phân giác cân tại A =AHAK (2) Từ (1) và (2) AK= KF = AH = HF Tứ giác AKFH là hình thoi. Câu 5 Biểu thức: P= a − 2 ab + 3b − 2 a + 1(ĐK: a;b0 ) Ta có 3P=− 3a 6ab +− 9b 6a + =− 3 3P a 6ab ++− 9b 2a 6a + 3 99 3P =( a6ab9b − +) + 2a3a − + + 3 − 42 2 2 2 2 3 3 3 3P = a − 2.a.3b + 3b + 2 a − 2.a. + − ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 Trang | 3
4. 2 2 333 1 =−+−− 3Pa3b2a( − ) với a ;b 0 P − với a ;b 0 Dấu “=” xảy ra 222 2 9 a3b0−= a = 4 (thỏa mãn ĐK) 3 1 a0−= b = 2 4 9 a = Vậy 1 đạt được 4 MinA =− 2 1 b = 4 ĐỀ 2 Câu 1 Cho đường tròn (O; R) đi qua 3 đỉnh tam giác ABC, A 6= 0 0 , B 7= 0 0 1) Tính số đo các góc BOC, COA, AOB. 2) So sánh các cung nhỏ BC, CA, AB. 3) Tính BC theo R. Câu 2 Từ một điểm S ở ngoài đường tròn (O), kẻ tiếp tuyến SA và cát tuyến SBC với đường tròn (O), SB < SC. Một đường thẳng song song với SA cắt dây AB, AC lần lượt tại N, M. 1) Chứng minh: Tam giác AMN đồng dạng với tam giác ABC. 2) Chứng minh: BCMN là tứ giác nội tiếp. 3) Vẽ phân giác của góc BAC cắt dây BC tại D. Chứng minh: SDSB.SC2 = . 4) Trên dây AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Chứng minh: AO vuông góc với DE. ĐÁP ÁN Câu 1 A 600 O 700 B C H 1) ACB= 1800 −( BAC + ABC) Trang | 4
5. =−+=1806070500000( ) Theo hệ quả góc nội tiếp 1 BACBOCBOC2.BAC120= == 0 2 1 ABCAOCAOC2.ABC140= == 0 2 1 ACBAOBAOB2.ACB100= == 0 2 2) Ta có sđ ABAOB100==0 , sđ BCBOC120==0 , sđ ACAOC140==0 Do 1 0 0000 1 2 0 1 4 0 nên AB BC AC 3) Kẻ O H B⊥ C , OB = OC nên O B C cân tại O nên OH đồng thời là tia phân giác của tam giác và HB = HC (quan hệ đường kính dây cung) 1200 ==HOB60 0 2 R3 Do đó HBOB.sin== 60 0 2 ==BC2.HBR3 Câu 2 A S M N B O E D C 1) Do MN // SA nên ANMSAB= (SLT) mà ACBSABANMACB= = Xét AMN và ABC có ANMACB= , BAC chung AMN đồng dạng với (g.g) Trang | 5
6. 2) Theo phần a) có A N M A= C B +=+=MCBMNBANMMNB180 0 BCMN là tứ giác nội tiếp. 3) Do BAD= CAD , ACB= SAB ta có SAD= SAB + BAD = ACB + CAD mà SDAACDCADSADSDA=+ = S A Dcân tại S =S A S D (1) Xét S A B và S C A có , S chung SASB đồng dạng với (g.g) = = SASB.SC2 (2) SCSA Từ (1) và (2) suy ra =SD2 SB.SC 4) Ta có =AEDABDc.g.cADEADBSAD == ( ) (theo3) mà SAD+ OAD = SAO = 9000 ADE + OAD = 90 ⊥AODE ĐỀ 3 Câu 1: Giải các phương trình: 1) x8x02 += 2) x2x2202 −+= 3) 3x2 − 10x + 8 = 0 4) 2x2x102 −+= Câu 2: Cho phương trình bậc hai: x6x2m102 −+−= (1). Tìm m để: 1) Phương trình (1) có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó. 2) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu. 3) Phương trình (1) có một nghiệm là x = 2. Tìm nghiệm còn lại. 4) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x 2 , thỏa mãn: xx412−= Câu 3: Chứng tỏ rằng parabol yx= 2 và đường thẳng y=+ 2mx 1 luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt 2 có hoành độ giao điểm là và . Tính giá trị biểu thức: A= x1 + x 2 − x 1 + 2mx 2 + 3 . Trang | 6
7. ĐÁP ÁN Câu 1 1) x8x0xx802 += += ( ) =x0 hoặc x = - 8. Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x12 0 ;x= = 8 − 2) x 2x2 − 2 + 2 = 0 có =' 2 − 2 = 0 Nên phương trình có nghiệm kép x12 x 2== 3) 3 x 12 0− x + 8 = 0 có =−= ='25241'1 Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là 5 1− 4 51+ x ==; x2== 1 332 3 4) 2 x 2 x− 1 + 0 = có =' 1 − 2 = 1 − 0 nên phương trình vô nghiệm. Câu 2 Phương trình (1) có nghiệm kép khi = −= ='0102m0m5 Khi đó phương trình có nghiệm kép là: xx312== 2) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi a.c < 0 − 2m10 1 m 2 3) Phương trình (1) có một nghiệm là x = 2 nên 2122m102 −+−= =2m9 9 =m 2 Theo hệ thức Vi ét ta có x12+= x 6 mà x21 = x42 = Vậy nghiệm còn lại là 4) Theo phần (1) phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khi ' 0 10 − 2m 0 m 5 Trang | 7
8. x12 x 6+= Theo hệ thức Vi-et ta có x12 x 2m=− 1 22 xx1− 2 = 4 ( xx 1 − 2) = 16 ( xx 1 + 2) − 4xx16 1 2 = 36 − 4( 2m − 1) = 16 −+=368m416 =m3 (Thỏa mãn) Câu 3 Phương trình hoành độ giao điểm của parabol yx= 2 và đường thẳng y=+ 2mx 1 là x 2 m− − x =1 0 (1) có =' m + 1 02 với mọi m Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1 và x 2 Parabol và đường thẳng luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt. x12+= x 2m Theo Hệ thức Vi-ét ta có: x12 x=− 1 Do x1 là nghiệm phương trình (1) 22 Nên x2mx10x2mx11111−−= =+ 2 2 Xét: x2mx32m1212++=++ xx4 ( ) =+=+2m.2m44m4 (1) 2 22 Xét: x1+ x 2 =( x 1 + x 2) = x 1 + x 2 + 2 x 1 x 2 2 2 =+−+=+(xx2x121 21 x2) 2 x x4m4 (2) Từ (1) và (2) suy ra A= 4m22 + 4 − 4m + 4 = 0 ĐỀ 4 Bài 1 Giải phương trình và hệ phương trình sau: 3xy+= 2 1 a) xy+=1 b) x2 − 4x + 3 = 0 Trang | 8
9. Bài 2 Cho (P): y = x 2 và (d): y = x+2 a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ. b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính. Bài 3: Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc đã định. Nếu ô tô đó tăng vận tốc thêm10km mỗi giờ thì đến B sớm hơn dự định 1 giờ 24 phút, nếu ô tô giảm vận tốc đi 5 km mỗi giờ thì đến B muộn hơn 1 giờ. Tính độ dài quãng đường AB và vận tốc dự định. Bài 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M,N,P. Chứng minh rằng: a) Các tứ giác AEHF, BCEF nội tiếp . b) AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC. c) H và M đối xứng nhau qua BC. Bài 5: Cho phương trình: (m - 1)x2 – 2(m+1)x+ m – 2 = 0 (1) (m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt. ĐÁP ÁN Bài 1 - Giải đúng nghiệm (x; y) = (-1;2) và kl - Giải đúng và kl tập nghiệm: S = { 1; 3} Bài 2 a) Lập bảng giá trị và vẽ (P), (d) đúng b) Xác định đúng tọa độ giao điểm của (P) và (D) Bài 3 - Chọn đúng 2 ẩn số và đặt đk đúng. - Lập hệ phương trình đúng - Giải đúng hệ phương trình - Trả lời đúng quãng đường AB là 280km, vận tốc dđ là 40 km/h Trang | 9
10. Bài 4 A N 1 E P F 1 2 O H - 1 ( B D 2 ( C - M Vẽ hình đúng, viết gt, kl a) Cm đúng phần a b) CM: => .=>AE.AC = AH.AD CM: => .=>AD.BC = BE.AC c) CM: BC là đường trung trực của HM => M đối xứng với H qua BC Bài 5 Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là: Đề 5 Câu 1 1. Cho hàm số yax= 2 . Tìm a biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(-1; 1) 2. Giải các phương trình sau: a) xx2 −=20 b) xx2 +3 + 2 = 0 Trang | 10
11. 15− x c) +=1 xx−−22 Câu 2 (Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình) Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 20 m. Nếu gấp đôi chiều dài và gấp 3 lần chiều rộng thì chu vi của hình chữ nhật là 480 m. Tính chiều dài và chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật đó. Câu 3 Cho phương trình x m2 − x −2 = 3 0 . 1) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. 22 2) Gọi xx12, là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để xx12+=10 Câu 4 Cho parabol (P :) y x = 2 và đường thẳng (d:) y2m3x2m2=+−+( ) Chứng minh rằng với mọi m parabol (P) và đường thẳng (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Tìm m sao cho hai giao điểm đó có hoành độ dương. ĐÁP ÁN Câu 1 1) Cho hàm số y= ax2 . Tìm a biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(-1; 1) Thay x = -1; y = 1 vào hàm số ta được 1 = a.(-1)2 Tính được a = 1 2) Giải các phương trình sau: a) xx2 −=20 x(x - 2) = 0 x01 = x22 = Vậy phương trình có nghiệm x = 0 ; x = 2 b) xx2 +3+= 2 0 Có a – b + c = 0 ( Tính cũng cho điểm như vậy ) Trang | 11
12. x11 =− x22 =− Vậy phương trình có nghiệm x = - 1 ; x = - 2 15− x c) +=1 Điều kiện x2 xx−−22 1 + x – 2 = 5 – x 2x = 6 x = 3 (Thỏa mãn ĐK) Vậy phương trình có nghiệm x = 3 (Nếu thiếu ĐK, giải ra không đối chiếu ĐK hoặc thiếu cả hai thì trừ 0,25 điểm) Câu 2 Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 20 m. Nếu gấp đôi chiều dài và gấp 3 lần chiều rộng thì chu vi của hình chữ nhật là 480 m. Tính chiều dài và chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật đó. Gọi chiều dài của hình chữ nhật x (m) Chiều rộng của hình chữ nhật y ( m ) (điều kiện x > y >0 ) Chiều dài hơn chiều rộng 20 m nên ta có phương trình x – y = 20 (1) Nếu gấp đôi chiều dài và gấp 3 lần chiều rộng thì chu vi của hình chữ nhật là 480 m nên ta có phương trình: ( 2x + 3y ).2 = 480 (2) xy20−= Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình (2x3y).2480+= x60= Giải hệ ta được y40= Đối chiếu với điều kiện ta thấy x, y thỏa mãn Vậy chiều dài của hình chữ nhật 60 (m) Chiều rộng của hình chữ nhật 40 ( m ) Câu 3 1) x2 −2 mx − 3 = 0. Trang | 12
13. 2 =−−−=+'m1.(3)m3( ) 2 Có m0m'm30m22  =+  Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với  m 2) Với phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x12 x+= 2m Áp dụng hệ thức Viet ta có x12 . x 3 =− 22 xx12+=10 2 (xx)2xx101212+−= (2m)2.(3)102 −−= 4m2 = 4 m1= m1=− Vậy m = 1 ; m = -1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn Câu 4 Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (p) : x2m3x2m22 =+−+ ( ) −++−=x22 m3( x2m201) ( ) 2 2 2 'm = −+ 32m( −−=++=++ 2m4m) ( 11m )  270 m ( ) Do đó (1) có hai nghiệm phân biệt m (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt với m . x12 + x = 2( m + 3) x12 , x là hai nghiệm phương trình , áp dụng định lý Viete ta có: x12 x=− 2m 2 x12+ x 0 Hai giao điểm đó có hoành độ dương > 0 x12 x 0 Trang | 13
14. 2m30( + ) m3 − m1 2m20− m1 Vậy với m1 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt với hoành độ dương. Trang | 14