Đề kiểm tra giữa học kỳ II môn Toán Lớp 9 - Năm học 2021-2022 - Hoàng Thị Phương (Có đáp án)

Nội dung text: Đề kiểm tra giữa học kỳ II môn Toán Lớp 9 - Năm học 2021-2022 - Hoàng Thị Phương (Có đáp án)

1. UBND QUẬN HỒNG BÀNG ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II TRƯỜNG THCS QUÁN TOAN MÔN TOÁN LỚP 9 Thời gian: 90 phút Năm học: 2021 - 2022 (Đề thi gồm 01 trang - Học sinh làm bài ra giấy thi) Bài 1 (2,0 điểm). Giải các hệ phương trình sau: 2x y 3 2 x y x y 7 a) b) x y 1 x y x y 8 Bài 2 (2,0 điểm). 1. Cho phương trình: x2 - 4x + 3m - 3 = 0 (1) (m là tham số). a) Giải phương trình với m = 2. b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm. Bài 3 (1,5 điểm). Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 80m. Nếu giảm chiều dài 5m và chiều rộng 2m thì diện tích giảm 135m2. Tính diện tích mảnh đất đó. Bài 4 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) với cạnh AB cố định khác đường kính. Các đường cao AD, BE của tam giác ABC cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại I, K . Tia CH cắt đoạn thẳng AB tại G. a) Chứng minh tứ giác CEHD là tứ giác nội tiếp. Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEHD . b) Chứng minh ΔAED ∽ ΔAHC . c) Chứng minh ED // IK . d) Chứng minh rằng khi C chuyển động trên cung lớn AB thì đường tròn ngoại tiếp tam giác GDE luôn đi qua một điểm cố định. Bài 5 (0,5 điểm). Cho x, y, z > 0 thỏa mãn x + y + z = 1. 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =  x y z Hết đề
2. UBND QUẬN HỒNG BÀNG TRƯỜNG THCS QUÁN TOAN HƯỚNG DẪN CHẤM, BIỂU ĐIỂM BÀI KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II Môn: Toán lớp 9 NĂM HỌC 2021–2022 Biểu Bài Đáp án điểm 2x y 3 x 4 a) x y 1 x y 1 0,25 x 4 y 1 x 0,25 x 4 x 4 0,25 y 1 4 y 5 0,25 1 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (x; y) = 4; 5 . (2,0đ) 2 x y x y 7 2x 2y x y 7 b) 0,25 x y x y 8 x y x y 8 x 3y 7 x 4 0,25 2x 8 4 3y 7 x 4 x 4 0,25 3y 3 y 1 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (x; y) = 4; 1 . 0,25 a) Xét phương trìnhx2 - 4x + 3m - 3 = 0 (1) 0,25 Với m = 2 phương trình (1) trở thành: x2 - 4x + 3 = 0 (2) Phương trình (2) có a = 1, b ' = –2, c = 3 0,25 '= (-2)2 – 1.3 = 1 > 0 Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt: 0,25 x1 = 2 + 1= 3, x2 = 2 – 1= 1 Vậy với m = 2 thì phương trình (1) có tập nghiệm là: S 1;3 0,25 b) Xét phương trình: x2 - 4x + 3m - 3 = 0 1 2 ( ) có: a = 1, b ' = – 2, c = 3m – 3 (2,0đ) 0,25 '=( 2)2 –1. (3m – 3) = 4 – 3m + 3 = 7 – 3m Phương trình (1) có nghiệm ' 0 0,25 7 3m 0 3m 7 7 m 0,25 3 7 Với m thì phương trình (1) có nghiệm. 3 0,25
3. Gọi chiều dài của mảnh đất hcn lúc đầu là x (m) (ĐK: 5 < x < 40) 0,25 chiều rộng của mảnh đất hcn lúc đầu là y (m) (ĐK: 3 < y < 40) Diện tích của mảnh đất lúc đầu là x.y (m2) Vì chu vi của mảnh đất lúc đầu là 80 m nên ta có phương trình: 0,25 2(x + y) = 80 x y 40 (1) Chiều dài của mảnh đất sau khi giảm là: (x - 5) (m) 0,25 Chiều rộng của mảnh đất sau khi giảm là: (y - 2) (m) Khi đó diện tích mảnh đất đã giảm đi 135 m2 nên ta có phương trình: xy 135 x 5 y 3 0,25 3 xy 135 xy 3x 5y 15 (1,5đ) 3x 5y 15 135 3x 5y 150 2 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 0,25 x y 40 3x 3y 120 2y 30 y 15 (TM ) 3x 5y 150 3x 5y 150 x y 40 x 25 (TM ) Vậy diện tích của mảnh đất hình chữ nhật lúc đầu là 25.15 = 375 m2 0,25 Vẽ hình đúng cho câu a K A E G 0,5 M H O 4 B ( 4,0 D C điểm) I a.(1,5 điểm) a) Vì AD; BE là các đường cao của tam giác ABC nên 0,5 AD ^ BC; BE ^ AC Þ C·EH = C·DH = 900 Xét tứ giác CDHE , ta có: 0,25
4. C· DH C· EH 900 900 1800 0,25 Mà C· DH và C· EH là hai góc ở vị trí đối nhau => Tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn 0,25 ( D; E thuộc đường tròn đường kính CH ) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDHE là trung điểm của CH . 0,25 b.(1,0 điểm) Tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn (câu a) 0,25 Þ E·CH = E·DH (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EH ) hay ·ACH = E·DA Xét ΔAED và ΔAHC , ta có 0,25 C·AD (chung) 0,25 E·DA = ·ACH (cmt) Vậy ΔAED ∽ ΔAHC (g-g) 0,25 c.(0,5 điểm) Vì AD, BE là các đường cao của tam giác ABC nên ·ADB = ·AEB = 90° Suy ra tứ giác ABDE nội tiếp được đường tròn 0,25 Nên ·ADE = ·ABE (1) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AE) Lại có ·AIK = ·ABE (2) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AK của đường tròn (O)) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra ·ADE = ·AIK , mà 2 góc này ở vị trí đồng vị Suy ra DE//IK d.(0,5 điểm) Gọi M là trung điểm của AB. Vì A, B cố định nên M là điểm cố định 1 Vì tam giác ADB vuông tại D nên DM = AB Þ DM = BM 2 Þ DMDB cân tại M. 0,25 Do đó M· DB = M· BD Theo tính chất góc ngoài tam giác ta có G·MD = M· DB + M· BD = 2M· BD Có tứ giác AEDB nội tiếp => B·ED = B·AD (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BD) Chứng minh được tứ giác BGEC nội tiếp => B·EG = B·CG (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BG) Suy ra G·ED + G·MD = B·AD + B·CG + 2M· BD 0,25 Þ G·ED + G·MD = (B·AD + M· BD)+ (B·CG + M· BD)= 900 + 900 = 1800 Do đó tứ giác GMDE nội tiếp Þ điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác GDE Vậy khi C chuyển động trên cung lớn AB thì đường tròn ngoại tiếp tam giác GDE luôn đi qua một điểm cố định là trung điểm M của AB.
5. Xét bài toán phụ chứng minh bất đẳng thức 1 1 4 với x, y > 0 x y x y 1 1 4 y x 4 (x y)2 4xy (vì x > 0; y > 0) x y x y xy x y 0,25 (x y)2 0 (luôn đúng) Từ bất đẳng thức luôn đúng x y 2 y z 2 z x 2 0 suy ra : x y z 2 3 xy yz zx vì x + y + z = 1 nên suy ra 1 1 5 3 dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = xy yz xz 3 ( 0,5 đ) 1 1 4 Ta có với x> 0; y> 0 (theo câu a) x y x y Áp dụng các bất đẳng thức trên ta có: 1 1 4 4 (vì x + y + z = 1) 2 xy yz xz x2 y2 z2 x y z 2 3 2 B = 0,25 xy yz zx x2 y2 z2 4 2 2 2(xy yz zx) 2(xy yz zx) x2 y2 z2 1 1 1 2. 2.[ ] 2.3 2.4 14 xy yz zx 2(xy yz zx) x2 y2 z2 Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 14 khi x = y = z = 1 3 NGƯỜI RA ĐỀ TT CHUYÊN MÔN BAN GIÁM HIỆU Hoàng Thị Phương Bùi Thị Thuận Cao Thị Hằng