Đề cương ôn tập học kì II môn Toán Khối 9

Nội dung text: Đề cương ôn tập học kì II môn Toán Khối 9

1. Toán lớp 9 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II MÔN: TOÁN KHỐI 9 NỘI DUNG ÔN TẬP A. LÍ THUYẾT I. ĐẠI SỐ - Học thuộc các khái niệm: hàm số bậc nhất, bậc hai. - Học thuộc các đại bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình, phương trình bậc hai. - Học thuộc công thức nghiệm tổng quát, công thức nghiệm thu gọn - Học thuộc hệ thức Vi-ét và điều kiện về dấu các nghiệm của phương trình bậc hai. II. HÌNH HỌC - Học thuộc các hệ thức lượng trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác của góc nhọn - Học thuộc các khái niệm: Góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây, góc có đỉnh bên trong, bên ngoài đường tròn. - Học thuộc các định lý về tính chất của các loại góc trên đối với đường tròn. - Học thuộc các cách chứng minh tứ giác nội tiếp. - Học thuộc công thức tính độ dài cung tròn, đường tròn, diện tích hình quạt tròn. - Các khái niệm hình công gian, công thức tính Sxq ,S tp ,V của hình trụ, hình lăng trụ, hình chóp, hình nón, BÀI TẬP A. TRẮC NGHIỆM 1
2. Toán lớp 9 2 Câu 1. Biết x31 =− và nghiệm của phương trình x+ 2x − m + 3 = 0 (m là tham số). A.Khi m = 18 thì x52 = B. Khi m6= thì x12 = C. Khi m=− 12 thì x52 =− D. Khi m0= thì x12 =− Câu 2. Tổng hoặc tích hai nghiệm của phương trình 3x2 − x + 7 = 0 là: −1 1 A. xx+= B. xx+= 123 123 7 C. x .x = D. Cả 3 câu đều sai 12 3 Phương trình vô nghiệm. Câu 3. Cho phương trình x2 −( a + 1) x + a = 0. Khi đó phương trình có hai nghiệm là: A. x12= 1; x = − a B. x12= − 1;x = − a C. x12= − 1; x = a D. x12== 1; x a 2 Câu 4. Gọi x12 ;x là nghiệm của phương trình x+ x − 1 = 0. Khi đó biểu thức 22 xx12+ có giá trị là: A. 1 B. 3 C. −1 D. −3 Câu 5. Nếu hai số u và v thỏa mãn u+= v 27 và u.v=− 34 thì u và v là nghiệm của phương trình nào sau đây? A. x2 − 27x − 34 = 0 B. x2 − 27x + 34 = 0 C. x2 + 27x − 34 = 0 D. x2 + 27x + 34 = 0 Câu 6. Với điều kiện nào sau đây của tham số m, đồ thị hàm số y= mx + 2m − 4 cắt trục hoành tại một điểm có hoành độ dương? A. 0 m 2 B. m2 C. m2 D. m0 hoặc m2 2
3. Toán lớp 9 1 Câu 7. Cho (P): yx= 2 . Trong các điểm sau, điểm thuộc (P) là: 2 A. (− 4;8) B. (−− 2; 2) C. (4; 4) D.(− 8; 4) Câu 8. Điều kiện của m để phương trình x22− 2mx + m − 4 = 0 có hai nghiệm x12= 0; x 0 là: A. m2=− B. m2= C. m2= D. m= 16 Câu 9. Cho hai đường tròn (I; 5cm) và (K; 5cm). Biết IK= 5cm . Xác định vị trí tương đối giữa hai đường tròn: A. Tiếp xúc ngoài B. Tiếp xúc trong C. Ngoài nhau D. Cắt nhau Câu 10. Diện tích xung quanh của một hình nón có chiều cao h= 16cm và bán kính của đường tròn đáy r= 12cm . A. 200 ( cm2 ) B. 220 (cm2 ) C. 240 ( cm2 ) D. 192 ( cm2 ) Sxq = .r.l l= 1222 + 16 = 20(cm) 2 Sxq = .20.12 = 240 (cm ) Câu 11. Độ dài cung 600 của đường tròn có bán kính bằng 3cm là: A. 9,42cm B. 6,28cm C. 3,14cm D. 3 cm Câu 12. Cho ABC vuông tại A, AB = 16cm, AC = 12cm. Quay tam giác đó một vòng quanh cạnh AB được một hình nón, diện tích xung quanh của hình nón đó là: 3
4. Toán lớp 9 A. 240 (cm2 ) B. 192 (cm2 ) C. 320 (cm2 ) D. 280 (cm2 ) Câu 13. Một hình trụ có chiều cao bằng 7cm, đường kính của đường tròn đáy bằng 6cm. Thể tích của hình trụ này bằng: A. 63 (cm3 ) B. 147 (cm3 ) C. 21 (cm3 ) D. 42 (cm3 ) Câu 14. Cho hình vuông nội tiếp đường tròn (O; R), chu vi của hình vuông bằng: A. 2 2R B. 3 2R C. 4 2R D. 6R Câu 15. Diện tích của một hình quạt có số đo cung bằng 36o của hình tròn có bán kính 10dm bằng: A. (dm2 ) B. 10 (dm2 ) C. 20 (dm2 ) D. 100 (dm2 ) Dạng 1: Toán tổng hợp về rút gọn 4x 1 x 2 Bài 1. Cho hai biểu thức A = và B = + + x1− x+− 1 x 1 x1− Với x 0; x 1 . a) Tính giá trị của biểu thức A khi x4= . b) Rút gọn biểu thức B. 3 c) Tìm các giá trị của x để A = . 2 1 4 2 x− 6 Bài 2. Cho biểu thức A.=− với x0 , x9 x++ 39x− x 1 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của biểu thức A khi x= 64 . 4
5. Toán lớp 9 c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất. x3+ x++ 2 x 4 Bài 3. Cho hai biểu thức A = và Bx=− x2− x3+ (với x 0; x 4 ) a) Tính giá trị của A khi x9= . b) Rút gọn biểu thức B. 1 c) Tìm giá trị của x để A.B = . 3 x 1 2 x = + − Bài 4. Cho A 1 : x1+ x− 1 (x + 1)( x − 1) Với x 0; x 1 a) Rút gọn A. b) Tính A khi x=+ 6 2 5 . c) Tìm x để A7= . x x++ 2 2x 8 2 Bài 5. Cho hai biểu thức A = + − và B = x+− 2 x 2 x4− x6− Với x 0,x 4 và x 36 . a) Tìm giá trị biểu thức B khi x= 25 . b) Rút gọn biểu thức A. c) Tìm giá nhỏ nhất của biểu thức PA:B= . x 2 6 1 = + + + Bài 6. Cho biểu thức P : 1 x− 1 x + 2 x + x − 2 1 − x Với x 0,x 1,x 4 . a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của biểu thức P biết x=− 3 2 2 . −1 c) Tìm x để P . 2 5
6. Toán lớp 9 Dạng 2: Các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai một ẩn và hệ thức Vi-ét Bài 7. Cho phương trình x2 − 4x + m − 1 = 0. a) Giải phương trình với m = - 11. 22 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x12 ;x thỏa mãn x12+= x 10 . c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương. Bài 8. Cho phương trình x2 + 2(m − 1)x − 4m = 0 a) Giải phương trình với m2= . b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x12 ,x và x12 ,x là hai số đối nhau. Bài 9. Cho phương trình x2 − mx − 3 = 0 (1) a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt. 22 b) Gọi x12 ; x là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m để x12+= x 5m . Bài 10. Cho phương trình: x2 + mx − 1 = 0 a) Giải phương trình với m2= . 2 2 2 2 b) Tìm m để phương trình có các nghiệm x12 ,x thỏa mãn x1+= x 2 5.x 1 x 2 Bài 11. Cho phương trình x2 + 2(m − 1)x + 2m − 5 = 0 (1) (x là ẩn số) a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x12 ; x với mọi m. b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho x12 0 x . Bài 12. Cho phương trình x2 − 2(m − 2)x + 2m − 5 = 0 (1) a) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m. b) Gọi x12 ,x là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m để x(11− x) 2 + x(1 2 − x) 1 4 Dạng 3: Các bài tập về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 6
7. Toán lớp 9 Bài 13. Giải các hệ phương trình sau 21 +=2 3x+= y 3 x+− 2 2y 3 a) b) 2x−= y 7 62 −=1 x+− 2 2y 3 81 80 48 +=5 +=7 x3− 2y− 1 x+− y x y c) d) 41 100 32 +=3 −=3 x3− 2y− 1 x+− y x y x−= my 2 Bài 14. Cho hệ phương trình . mx+= 2y 1 a) Chứng minh hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x; y) với mọi tham số m. b) Tìm m để nghiệm (x; y) thỏa mãn 3x+ 2y − 1 0 (m− 1)x + y = 2 Bài 15. Cho hệ phương trình mx+ y = m + 1 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn: x+ y = − 4 x+= 2y 5 Bài 16. Cho hệ phương trình mx+= y 4 Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn xy= Dạng 4: Các bài toán về hàm số bậc nhất và đồ thị hàm số y= ax2 (a0 ) x2 Bài 17. Cho đường thẳng d: y= (m − 1)x − m + 2 và parabol (P): y = . 2 a) Tìm điểm cố định mà d luôn đi qua với mọi m. 22 b) Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm có hoành độ x12 ,x sao cho A=+ x12 x đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 18. Cho đường thẳng d: y= (m − 1)x + m2 + 1 và parabol (P): yx= 2 7
8. Toán lớp 9 a) Chứng minh rằng luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung. b) Gọi x12 ,x là hoành độ các giao điểm của d và (P). Tìm các giá trị của tham số m biết rằng x12+= x 2 2 1 1 Bài 19. Cho đường thẳng d: y= − mx − m2 + m + 1 và parabol (P): yx= 2 2 2 a) Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm có hoành độ x12 ,x sao cho x12−= x 5. b) Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm ở bên trái trục tung. Bài 20. Cho đường thẳng d: y= − mx + m + 1 và parabol (P): yx= 2 . Tìm các giá trị của m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x12 ,x sao 22 cho x12+ x 2 . Bài 21. Cho parabol (P): yx= 2 và đường thẳng d: y=+ mx 2 . a) Với m1=− , tìm tọa độ các giao điểm của (P) và d. b) Tìm các giá trị của m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x12 ,x sao cho x12−= 2x 5 . Dạng 5: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình Bài 22. Lúc 7 giờ, một ca nô chạy xuôi dòng từ bến A đến bến B dài 30km. Ca nô nghỉ tại B 30 phút. Sau đó, ca nô ngược dòng với vận tốc riêng không đổi từ B về đến A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô biết vận tốc dòng nước là 4km/h. Bài 23. Hai tổ công nhân cùng làm một công việc sau 12 giờ thì xong. Họ làm chung trong 4 giờ thì tổ I phải đi làm việc khác. Tổ II làm xong công việc còn lại trong 10 giờ. Tính thời gian mỗi tổ làm một mình xong công việc đó. Bài 24. Một ô tô tải khởi hành từ A để đi đến B trên quãng đường AB dài 270km. Sau đó 45 phút, một ô tô con cũng khởi hành từ A để đi đến B trên 8
9. Toán lớp 9 cùng quãng đường. Hai ô tô đến B cùng một lúc. Biết vận tốc của ô tô tải nhỏ hơn vận tốc ô tô con là 5km/h. Tính vận tốc của mỗi xe. Bài 25. Hai trường A và B có 435 học sinh thi đỗ vào lớp 10 đạt tỉ lệ là 87%. Riêng trường A tỉ lệ đỗ vào lớp 10 là 85%, riêng trường B tỉ lệ đỗ và lớp 10 là 90%. Tính số học sinh dự thi vào lớp 10 của mỗi trường. Bài 26. Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng độ dài mỗi cạnh của nó lên 1cm thì diện tích của hình chữ nhật sẽ tăng thêm 13cm2 . Nếu giảm chiều dài đi 2cm, giảm chiều rộng đi 1cm thì diện tích của hình chữ nhật sẽ giảm 15cm2 . Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đã cho. Bài 27. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 15 giờ thì xong việc. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 3 giờ rồi người thứ hai làm một mình trong 5 giờ thì được 25% công việc. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong việc? Bài 28. Một công nhân phải làm xong 120 sản phẩm trong thời gian quy định. Sau khi làm được hai giờ với năng suất dự kiến, người đó đã cải tiến các thao tác kĩ thuật nên mỗi giờ làm thêm được 3 sản phẩm. Vì vậy, người đó đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn quy định 1 giờ 36 phút. Tính số sản phẩm người đó dự kiến làm trong mỗi giờ. Bài 29. Một tàu tuần tra chạy ngược dòng 60km, sau đó chạy xuôi dòng 48km trên cùng một dòng sông có vận tốc của dòng nước là 2km/giờ. Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng, biết thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ. Bài 30. Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng sản xuất bao nhiêu sản phẩm? 9
10. Toán lớp 9 Bài 31. Khoảng cách giữa hai bến sông từ A và B là 48km. Một ca nô đi từ bến A đến bến B, rồi quay lại bến A. Thời gian cả đi và về là 5 giờ (không tính thời gian nghỉ). Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4km/h. Bài 32. Một xe lửa đi từ Huế ra Hà Nội. Sau đó 1 giờ 40 phút, một xe lửa khác đi từ Hà Nội vào Huế với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga cách Hà Nội 300km. Tìm vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng quãng đường sắt Huế- Hà Nội dài 645km. Dạng 6: Các bài toán hình tổng hợp Bài 33. Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R với đường kính AB; C là điểm chính giữa của cung AB; điểm M thuộc cung AC. Kẻ tiếp tuyến (d) của (O; R) tại tiếp điểm M. Gọi H là giao điểm của BM và OC. Từ H kẻ một đường thẳng song song với AB, đường thẳng đó cắt (d) tại E. a) Chứng minh tứ giác OHME là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh EH = R. c) Kẻ MK vuông góc với OC tại K. Chứng minh: đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác OMK. Bài 34. Cho đường tròn (O; R), từ điểm K ở bên ngoài đường tròn kẻ các tiếp tuyến KB, KD (với B, D là các tiếp điểm), cát tuyến KAC (với A nằm giữa K và C). Gọi I là trung điểm của BD. Biết I, O không thuộc đường thẳng AC. a) Chứng minh: KAB∽ KBC và AB.CD= AD.BC . b) Chứng minh tứ giác AIOC nội tiếp. c) Kẻ dây CN của (O; R) sao cho CN BD . Chứng minh ba điểm A, I, N thẳng hàng. 10
11. Toán lớp 9 Bài 35. Cho đường tròn (O) và dây AB không đi qua tâm. Dây PQ của (O) vuông góc với AB tại H (HA HB) . Gọi M là hình chiếu vuông góc của Q trên PB; QM cắt AB tại K. a) Chứng minh tứ giác BHQM nội tiếp và BQ HM . b) Chứng minh tam giác QAK cân. c) Tia MH cắt AP tại N, từ N kẻ đường thẳng song song với AK, đường thẳng đó cắt QB tại I. Chứng minh ba điểm P, I, K thẳng hàng. Bài 36. 1. Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. C là trung điểm của OA, vẽ dây MN vuông góc với AO tại C. K là điểm di động trên cung nhỏ MB và H là giao của AK và MN. a) Chứng minh tứ giác BCHK nội tiếp; b) Chứng minh tam giác MBN đều; c) Tìm vị trí điểm K trên cung nhỏ MB sao cho KM + KN + KB đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó theo R. 2. Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 30 (cm2), biết đường kính đáy của hình trụ bằng 6cm. Tính thể tích của hình trụ đó. Bài 37. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB AC) nội tiếp đường tròn (O; R). Vẽ đường kính AD, tiếp tuyến với đường tròn (O; R) tại D cắt BC tại E. Vẽ OH vuông góc với BC (H BC) . a) Chứng minh tứ giác OHDE nội tiếp. b) Chứng minh ED2 = EC.EB. c) Từ C vẽ đường thẳng song song với EO cắt AD tại I. Chứng minh HI song song với AB. d) Qua D vẽ đường thẳng song song với EO cắt AB và AC lần lượt tại M và N. Chứng minh DM= DN . 11
12. Toán lớp 9 Bài 38. Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và điểm C thuộc đường tròn đó (C khác A, B). Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt tia BE tại điểm F. a) Chứng minh FCDE là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh DA.DE = DB.DC. c) Chứng minh CFD= OCB. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh IC là tiếp tuyến của đường tròn (O). Bài 39. Cho ∆ABC cân tại A, I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A, O là trung điểm của IK. a) Chứng minh 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc một đường tròn tâm O. b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn tâm (O). c) Tính bán kính của đường tròn (O), biết AB = AC = 20cm, BC = 24cm. Bài 40. Cho đường tròn (O) với dây BC cố định và một điểm A thay đổi trên cung lớn BC sao cho AC > AB và AC > BC. Gọi D là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Các tiếp tuyến của (O) tại D và C cắt nhau tại E. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng AB với CD; AD với CE. a) Chứng minh rằng: DE // BC. b) Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp đường tròn. c) Gọi giao điểm của các dây AD và BC là F. 1 1 1 Chứng minh hệ thức: = + . CE CQ CF Bài 41. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Điểm M thuộc nửa đường tròn, điểm C thuộc đoạn OA. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB chứa điểm M vẽ tiếp tuyến Ax, By. Đường thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax, By lần lượt tại P và Q; AM cắt CP tại E, BM cắt CQ tại F. a) Chứng minh tứ giác APMC nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh góc PCQ = 900. 12
13. Toán lớp 9 c) Chứng minh AB // EF. Bài 42. Cho đường tròn (O) có đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn đó (C khác A , B). Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt tia BE tại điểm F. a) Chứng minh rằng FCDE là tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh rằng DA.DE = DB.DC. c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh rằng IC là tiếp tuyến của đường tròn (O) . Dạng 7: Một số bài toán nâng cao Bài 42. Giải phương trình: x4− 3x 3 + 2x 2 − 3x + 1 = 0 Bài 43. Giải phương trình: 2(x42+ 4) = 3x − 10x + 6 Bài 44. Giải phương trình: x3x2− + 32x − = x32 + x + x1 + Bài 45. Giải phương trình: x+ 3.x44 = 2x − 2010x + 2010 Bài 46. Cho hai số dương x, y thỏa mãn: x+= y 1 11 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S =+ xy22+ xy Bài 47. Với a, b, c là các số dương thỏa mãn abc= 1 . 1 1 1 1 Chứng minh + + a2+ 2b 2 + 3b 2 + 2c 2 + 3c 2 + 2a 2 + 3 2 Bài 48. Cho ba số thực không âm a, b, c và a+ b + c = 3 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: K= 3a + 1 + 3b + 1 + 3c + 1 Bài 49. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a+ b + c = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P= b + c + c + a + a + b Bài 50. Cho các số thực a, b, c thay đổi luôn thỏa mãn: a 1,b 1,c 1 và ab+ bc + ca = 9 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức P= a2 + b 2 + c 2 . 13